Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.A partir de c, se construye una sucesión por recursión: Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido.En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto.Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto.Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir,Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifiquepara estar seguro de que c no está en el conjunto.La teoría básica sobre la iteración de funciones complejas fue desarrollada por Gaston Julia y Pierre Fatou en los años 1910.La forma extraordinariamente intrincada de conjuntos relacionados con estas iteraciones se reveló en el momento en que los gráficos por ordenador fueron lo suficientemente avanzados.Una lista exhaustiva de todos los que han contribuido a la comprensión de este conjunto desde entonces es larga pero incluiría a Jean-Christophe Yoccoz, Mitsuhiro Shishikura, Curtis T. McMullen, John Milnor y Mikhail Lyubich.[7] Así, un número complejo c es miembro del conjunto de Mandelbrot si, al comenzar cony aplicar la iteración repetidamente, el valor absoluto deEl conjunto de Mandelbrot es un conjunto compacto, ya que es cerrado y está contenido en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen., y si ese valor absoluto supera 2, la sucesión escapará al infinito.siempre estará en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen.[cita requerida] Douady y Hubbard han demostrado que el conjunto de Mandelbrot es conectado.De hecho, construyeron un isomorfismo conformacional explícito entre el complemento del conjunto de Mandelbrot y el complemento del disco unitario cerrado.También existe una prueba topológica de la conectividad que fue descubierta en 2001 por Jeremy Kahn., da lugar a rayos externos del conjunto de Mandelbrot.Estas curvas algebraicas aparecen en imágenes del conjunto de Mandelbrot calculadas mediante el "algoritmo del tiempo de escape" que se menciona más adelante.Al mirar una imagen del conjunto de Mandelbrot, uno nota inmediatamente la gran región cardioide en el centro.La razón del nombre es que el bulbo consiste precisamente en aquellos parámetrosdenota la función phi de Euler), que consisten en parámetroscomponentes periódicas Componentes de Fatou que contienen el ciclo de atracción se tocan todas en un punto común (comúnmente llamado el punto fijo-punto fijo), y el ciclo período-q se convierte en atracción.A continuación se muestran las ampliaciones de la imagen principal: Al agrandar el recuadro verde, se aprecia: Al agrandar el recuadro gris situado en el extremo izquierdo de la imagen inicial, se tiene que su parecido a la imagen inicial es obvio.El proceso se puede repetir un sinfín de veces eligiendo bien la imagen a ampliar.En esta imagen, el conjunto es, naturalmente, el mismo, pero las líneas de nivel (que separan los colores, fuera del conjunto) no son idénticas., por razones estéticas, ya que así se obtiene una imagen inicial menos oscura.Cuantas menos iteraciones son necesarias para divergir al infinito, se aplica un color más oscuro.
Representación del conjunto de Mandelbrot mediante el algoritmo de tiempo de escape
La primera imagen publicada del conjunto de Mandelbrot, por
Robert W. Brooks
y Peter Matelski en 1978