Grupo kleiniano

En matemáticas, un grupo kleiniano es un subgrupo discreto de PSL(2, C).Además un grupo kleiniano se puede ver como un subgrupo discreto actuando sobre uno de estos espacios.Hay algunas variaciones en la definición de un grupo kleiniano: a veces se permite que los grupos kleinianos sean subgrupos de PSL(2, C).2 (PSL(2, C) extendido por conjugaciones complejas), en otras palabras, que tengan elementos de reversión de la orientación; y a veces se asume que sean finitamente generados, mientras que otras se requiere que actúen adecuadamente discontinuamente sobre un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann.La teoría de grupos kleinianos generales fue iniciada por Felix Klein, y Henri Poincaré, quien le puso el nombre de Klein.Clásicamente, se requiere que un grupo kleiniano actúe propiamente y discontinuamente sobre un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann, pero los usos modernos permiten cualquier subgrupo discreto.La discretitud implica que los puntos de B3 tienen estabilizadores finitos, y órbitas discretas bajo el grupo Γ.La bola unidad B3 con su estructura conforme es el modelo de Poincaré del 3-espacio hiperbólico.Usando la métrica es un modelo del espacio hiperbólico tridimensional H3.Estas aplicaciones se restringen a endomorfismos conformes deExisten isomorfismos Los subgrupos de estos grupos consistentes en transformaciones que preservan la orientación son todos isomorfos al grupo proyectivo matricial: PSL(2,C) vía la identificación usual de la esfera unidad con la línea compleja proyectiva P1(C).es el anillo de enteros del cuerpo cuadrático imaginarioSe dice que un grupo kleiniano es elemental si su conjunto límite es finito, en cuyo caso el conjunto límite tiene 0, 1 o 2 puntos.Se dice que un grupo kleiniano es reducible si todos sus elementos tienen un punto fijo común en la esfera de Riemann.Cuando la curva de Jordan es una circunferencia o una línea recta estos son conjugados a grupos fuchsianos bajo transformaciones conformes.El grupo generado por inversión en cada circunferencia tiene como conjunto límite un conjunto de Cantor, y el cociente H3/G es un orbifold espejo que tiene como espacio subyacente una bola.Se dice que un grupo kleiniano es degenerado si no es elemental y su conjunto límite es simplemente conexo.Estos grupos pueden construirse tomando un límite adecuado de grupos cuasifuchsianos tales que una de las dos componentes de los puntos regulares se limite al conjunto vacío; estos grupos se llaman singularmente degenerados.Le existencia de grupos kleinianos degenerados fue demostrada de forma indirecta por Bers (1970), y el primer ejemplo lo halló Jørgensen.Cannon y Thurston (2007) dieron ejemplos de grupos doblemente degenerados y curvas que rellenan el espacio asociadas a aplicaciones seudo-Anosov.