Curvatura de Gauss

La curvatura gaussiana de una superficie es un número real

(P0) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie.

Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie:

Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k1 y k2), mediante la relación K = k1k2.

Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos.

Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera).

A partir de la fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a

La curvatura gaussiana también puede ser negativa, como en el caso de un hiperboloide o el interior de un toro.

Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura gaussiana debe verse como una relación

(una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de curvatura gaussiana.

La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del inglés shape operator) de la superficie S:

{\displaystyle \partial _{u},\partial _{v}}

son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p. Con la derivada (jacobiano) del operador de forma

uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.

( p ) = det [

Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.

En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-variedad diferenciables, uno encuentra la relación

Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es

cos ⁡ v

2 + cos ⁡ v

donde se ha usado la parametrización:

( v , w )

( ( 2 + cos ⁡ v ) cos ⁡ w , ( 2 + cos ⁡ v ) sin ⁡ w , sin ⁡ v )