Energía de Willmore

Se denomina así en honor al geómetra inglés Thomas Willmore.[1]​ La energía de Willmore de una superficie S cerrada, suave y encajada en el espacio Euclídeo tridimensional es: dondees la curvatura media y dA es el elemento de área de S inducido por el espacio ambiente.de la superficie, luego la cual es una invariante topológica y por tanto es independiente del embeddimiento particular enDe esta forma, la energía de Willmore se puede expresar como Otra fórmula equivalente a la variante dada es dondeson las curvaturas principales de la superficie.son por definición aquellas cuya curvatura media se anula en todo punto, es decir,Por el principio del máximo se llega a que no hay superficies mínimas compactas sin borde enEn su lugar, resulta interesante fijarse en superficies cerradas que minimicen la energía de Willmore.Un problema básico en el cálculo de variaciones consiste en encontrar los puntos críticos y los mínimos de un funcional.Se pueden encontrar mínimos (locales) de la energía de Willmore utilizando el método del descenso gradiente, el cual es conocido en este contexto como flujo de Willmore.Para embeddimientos de la esfera en el espacio tridimiensional, los puntos críticos han sido ya clasificados:[2]​ todos ellos son transformaciones conformes de superficies minimales, la esfera es el mínimo, y todo el resto de puntos críticos son enteros mayores o iguales que 4Se las conoce como superficies de Willmore.Las líneas del flujo satisfacen la ecuación diferencial dondeEste flujo lleva a un problema de evolución en geometría diferencial: la superficie