Teorema de Gauss-Bonnet

Cualquier superficie orientable compacta sin frontera es topológicamente equivalente a una esfera con asas y g es el número de ellas.

Si se dobla o deforma la superficie M su característica de Euler no cambiará, ya que este es un invariante topológico, mientras que las curvaturas cambiarán en algunos puntos.

El teorema expresa de forma sorprendente que la integral total de todas las curvaturas permanecerá igual sin importar cómo deformemos a M. Por lo tanto, si tenemos una esfera con una abolladura, entonces su curvatura total es 4π (ya que la característica de Euler de la esfera es 2), sin importar qué tan profunda o grande sea la abolladura.

Si el toro tiene la métrica Riemanniana heredada por el espacio Euclidiano de dimensión tres, entonces la parte más cercana al "agujero" tiene curvatura Gaussiana negativa, la parte más alejada tiene curvatura Gaussiana positiva y la curvatura total es efectivamente igual a cero.

Es posible construir un toro identifican los lados opuestos de un cuadrado, en cuyo caso su métrica Riemanniana es plana.

Del teorema también se deducen resultados interesantes para triángulos.

Denotemos por T a la superficie formada por el interior del triángulo y su frontera por pedazos dada por las tres geodésicas.

Una generalización a n dimensiones fue encontrada en los años 40 por Allendoerfer, Weil y Chern.