Es una generalización directa del teorema de Gauss-Bonnet a la dimensión par en general.
Esto significa que Ω es
-valorada en M. Tal Ω puede ser mirado como matriz anti-simétrica 2n×2n cuyas entradas sean 2-formas, así que es una matriz sobre el anillo conmutativo
Uno puede por lo tanto tomar el Pfaffiano de Ω Pf(Ω) que resulta ser una 2n-forma.
El teorema de Gauss-Bonnet generalizado establece que donde χ denota la característica de Euler de M. Como con el teorema de Gauss-Bonnet, hay generalizaciones cuando M es una variedad con borde.