En geometría de Riemann, la conexión de Levi-Civita (nombrada así por Tullio Levi-Civita) es la conexión libre de torsión del fibrado tangente, preservando una métrica de Riemann (o métrica pseudoriemanniana) dada.
El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que hay una conexión única que satisfacen estas propiedades.
En la teoría de una variedad de Riemann o de una variedad pseudoriemanniana el término derivada covariante se utiliza a menudo para la conexión de Levi-Civita.
La expresión en coordenadas espaciales de la conexión se llama los símbolos de Christoffel.
Sea (M, g) una variedad de Riemann (o una variedad pseudoriemanniana) entonces una conexión afín
es una conexión de Levi-Civita si satisface las condiciones siguientes Sea de
una conexión afín en el fibrado tangente
En un entorno de cualquier punto podemos escoger coordenadas locales
con la base de campos vectoriales
Localmente la conexión queda determinada por los Símbolos de Christoffel, que se definen como:
Para la conexión de Levi-Civita, los Símbolos de Christoffel pueden ser calculados a partir de la métrica.
son los coeficientes de la matriz del tensor métrico en el sistema de coordenadas local; y
los de la matriz inversa, se demuestra que, para la conexión de Levi-Civita: La conexión de Levi-Civita define también una derivada a lo largo una curva, denotada generalmente por D. Dado curva diferenciable γ sobre (M, g) y un campo vectorial V en γ su derivada se define como Para dos campos vectoriales
es el jacobiano de Y.
Para un par de campos vectoriales tangentes a una superficie (variedad de codimensión 1 en
) se puede inducir una derivada covariante mediante el cálculo relación conocida como ecuación de Gauss.
Es fácil demostrar que
satisface las mismas propiedades que D.