En geometría de Riemann, el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que dado una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) hay una única conexión libre de torsión que preserva el tensor métrico.
que satisface las condiciones siguientes: La prueba técnica siguiente presenta una fórmula para los símbolos de Christoffel de la conexión en un conjunto coordenado local.
Para una métrica dada este conjunto de ecuaciones puede llegar a ser algo complicado.
Hay métodos más rápidos y más simples de obtener los símbolos de Christoffel para una métrica dada, e.g.
En esta prueba utilizamos la notación de Einstein.
son números reales del tensor métrico aplicado a una base, es decir Para especificar la conexión es suficiente especificar los símbolos de Christoffel
son los campos coordenados vectoriales tenemos que para todos i y j. Por lo tanto la segunda propiedad es equivalente a La primera propiedad de la conexión de Levi-Civita (arriba) entonces es equivalente a Esto da la relación única entre los símbolos de Christoffel (que definen la derivada covariante) y los componentes del tensor métrico.
Podemos invertir esta ecuación y expresar los símbolos de Christoffel con un pequeño truco, escribiendo a esta ecuación tres veces con una elección práctica de los índices Sumando, la mayoría de los términos en el lado derecho se cancelan y nos quedamos con O con el inverso de
, definido como (con la delta de Kronecker) escribimos los símbolos de Christoffel como Es decir los símbolos de Christoffel (y por lo tanto la derivada covariante) son determinados totalmente por la métrica, con las ecuaciones que implican la derivada de la métrica.
También se puede demostrar el resultado sin emplear coordenadas locales, a partir de las propiedades que determinan la conexión de Levi-Civita.
es una conexión tal que y donde
son campos vectoriales cualesquiera.
El cálculo antes hecho en coordenadas ahora se escribe Esto se reduce inmediatamente a la identidad obtenida para los símbolos de Christoffel si tomamos como
los campos vectoriales asociados localmente a las coordenadas.
La ecuación anterior puede ser reordenada para obtener la fórmula (o identidad) de Koszul Esto demuestra que, si existe una conexión con estas propiedades, entonces es única, pues si
, como consecuencia de que la métrica es no degenerada.
En la formulación local de arriba, esta propiedad clave de la métrica se usó cuando tomamos el inverso de la matriz que define la métrica.
Además, por el mismo razonamiento, la fórmula de Koszul se puede utilizar para definir un campo vectorial
dados, y es rutinario comprobar que
así definida es una conexión que verifica las dos propiedades enunciadas.