Formalismo de Cartan

La teoría de las tétradas o vielbeins es el caso especial para una variedad diferenciable cuatridimensional.

En diversos contextos también se ha llamado método del marco ortonormal, repère mobile, forma de soldaje, forma no holonómica ortonormal.

Sea una variedad diferenciable M de dimensión n, y los números naturales fijados p y q con p+q = n. Suponemos dado un SO(p, q) - fibrado principal B sobre M (llamado el fibrado de bases), y un SO(p, q)-fibrado vectorial V asociado a B por medio de la natural representación de SO(p, q) n-dimensional .

Suponga dado también una métrica SO(p, q)-invariante η de signatura (p, q) sobre V; y una función lineal inversible entre fibrados vectoriales sobre M, e: TM → V donde TM es el fibrado tangente de M. Una (seudo)métrica de Riemann se define sobre M como suma amalgamada (push forward) de η por e.

Es decir si tenemos dos secciones de TM, X y Y, Una conexión sobre V, A se define como la única conexión que satisface estas dos condiciones: ahora que hemos especificado A, podemos utilizarla para definir una conexión sobre TM por producto fibrado (pullback) por e; Dado que lo que ahora tenemos aquí es una SO(p, q) teoría de gauge, la curvatura F de Riemann definida como F = dA + A∧A es covariante de gauge punto a punto.