El término pfaffiano fue introducido por Arthur Cayley (1852) quien adoptó este nombre en memoria de Johann Friedrich Pfaff.
El pfaffiano (considerado como un polinomio) no se desvanece solo para matrices antisimétricas de orden 2n×2n, en cuyo caso es un polinomio de grado n. Explícitamente, para una matriz antisimétrica A, lo que posiblemente fue demostrado por primera vez por Thomas Muir en 1882 (Muir, 1882).
[1] (3 es impar, entonces el pfaffiano de B es 0) El pfaffiano de una matriz tridiagonal antisimétrica de orden 2n×2n se da como (Debe tenerse en cuenta que cualquier matriz antisimétrica se puede reducir a esta forma con todos los
iguales a cero; véase teoría espectral de matrices antisimétricas) Sea A = {ai,j} una matriz antisimétrica de orden 2n×2n.
Se hace uso de la antisimetría de A para evitar tener que sumar todas las posibles permutaciones.
Un elemento α ∈ Π se puede escribir como con ik < jk y
Dada una partición α como la anterior, se define El pfaffiano de A viene dado por El pfaffiano de una matriz n×n antisimétrica para n impar se define como cero, ya que el determinante de una matriz antisimétrica impar es cero, ya que para una matriz asimétrica,
, y para n impar, esto implica que
Por convención, el pfaffiano de la matriz 0 × 0 es igual a uno.
El pfaffiano de una matriz antisimétrica A de orden 2n×2n con n> 0 se puede calcular recursivamente como donde el índice i se puede seleccionar arbitrariamente,
se reduce a la expresión más simple: Se puede asociar a cualquier matriz antisimétrica de orden 2n×2n A = { aij} un bivector donde {e1, e2, ..., e2n} es la base estándar de R2n.
El pfaffiano entonces se define por la ecuación donde ωn denota el producto en cuña de n copias de ω.
[3] En particular, para cualquier matriz A de orden mxm, utiliza la definición formal anterior, pero configurando
Para m impar, se puede demostrar que esto es igual al pfaffiano usual de una matriz antisimétrica de orden m+1xm+1, donde se ha agregado una m+1-ésima columna que consiste en m elementos 1, una m+1-ésima fila que consta de m elementos -1, y el elemento de la esquina que es cero.
Las propiedades usuales de los pfaffianos, por ejemplo, la relación con el determinante, se aplican a esta matriz extendida.
Los pfaffianos tienen las siguientes propiedades, que son similares a las de los determinantes.
Usando estas propiedades, los pfaffianos se pueden calcular rápidamente, de forma similar al cálculo de determinantes.
es invertible, se tiene que Esto se puede ver en la fórmula de diagonalización de bloques de Aitken,[4][5][6] Esta descomposición implica unas transformaciones congruentes que permiten usar la propiedad del pfaffiano