En álgebra lineal se denomina matriz tridiagonal a una matriz cuyos elementos son solo distintos de cero en la diagonal principal y las diagonales adyacentes por encima y por debajo de esta.
Sea ejemplo Este tipo de matrices dispersas son habituales en álgebra lineal numérica y en la resolución de problemas de física computacional al aproximarse mediante diferencias finitas ecuaciones diferenciales (ecuación de Poisson, ecuación del calor, ecuación de onda...), particularmente en problemas unidimensionales.
Dada su particularidad existen algoritmos y reglas específicas para operar con ellas con mayor eficiencia que con una matriz genérica.
De forma general, cualquier matriz hermitiana puede convertirse en una matriz tridiagonal mediante una transformación ortogonal usando el algoritmo de Lanczos.
Así, también se emplean estas matrices como pasos intermedios en otros algoritmos matemáticos.
[2] En particular, una matriz triangular es la suma directa de p 1-a-1 y q 2-a-2 matrices tales que p + q/2 = n (la dimensión de la tridiagonal).
Aunque una matriz tridiagonal no tiene necesariamente que ser simétrica o hermitiana, suelen serlo en el contexto de los problemas que las originan.
Más aún, si una matriz tridiagonal A satisface ak,k+1 ak+1,k > 0, de forma que el signo de sus elementos es simétrico es semejante a una hermitiana y por tanto sus valores propios son todos reales.
La inversa de una matriz no singular T: es dada por: Donde los términos θi satisfacen la siguiente relación de recurrencia: con condiciones iniciales θ0 = 1, θ1 = a1 y ϕi satisface con condiciones iniciales ϕn+1 = 1 and ϕn = an.
[8] Esta optimización se puede lograr también mediante métodos iterativos.
Según el Teorema de Ostrowski y Reich, este valor viene dado por:
Una matriz tridiagonal puede ser almacenada de forma más eficiente mediante esquemas específicos.
Por ejemplo la librería LAPACK usada en el lenguaje Fortran lo almacena como tres vectores unidimensionales: uno de longitud n para la diagonal principal y dos vectores de longitud n − 1 para las adyacentes.