En matemáticas, el radio espectral de una matriz o de un operador lineal acotado es el supremo de entre los valores absolutos de los elementos de su espectro, indicándose en ocasiones con ρ(·).
Si λ1, ..., λs son los valores propios (reales o complejos) de una matriz A ∈ Cn × n, entonces su radio espectral ρ(A) se define como: El siguiente lema muestra una mayorante sencilla hasta ahora útil para el radio espectral de una matriz: Sea
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}
es una matriz cuadrada,
su radio espectral y
una norma matricial, entonces:
{\displaystyle \rho (A)\leq \Vert A^{k}\Vert ^{1/k},\quad \forall k\in \mathbb {N} }
Si (v, λ) es un par compuesto de un vector propio y un valor propio para una matriz A, por la propiedad sub-multiplicativa de la norma matricial, se obtiene:
{\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}
y como v ≠ 0 por cada λ se tiene:
{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}}
El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la convergencia de la sucesión de potencias de una matriz, como muestra el siguiente teorema: Sea
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}
es una matriz cuadrada y
su radio espectral, entonces:
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0\Longleftrightarrow \rho (A)<1}
no está sometido a valores
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0\Rightarrow \rho (A)<1}
{\displaystyle \rho (A)<1\Rightarrow \lim _{k\to \infty }A^{k}=0}
) Por otro lado, si ρ(A)>1, hay al menos un elemento en J que no permanece inalterable al aumentar k, demostrando así la segunda parte de la teoría.
Para toda norma matricial ||·||, se tiene: Es decir, la fórmula de Gelfand muestra cómo el radio espectral de A es la causa del ritmo de crecimiento asintótico de la norma de Ak: Demostración: Si todo ε > 0, al considerar la matriz: La fórmula de Gelfand conduce directamente a un límite del radio espectral de un producto de muchas matrices finitas; suponiendo que todas ellas se conmutaran, se obtendría:
En realidad, en el caso en que la norma fuera constante, la demostración serviría más que la tesis; de hecho, al emplear el lema anterior, se puede reemplazar la minorante en la definición de límite por el radio espectral mismo, quedando de forma: Ejemplo: Al considerar la matriz: cuyos valores propios son 5, 10, 10; de acuerdo con la definición, su radio espectral es ρ(A)=10.
En la siguiente tabla aparecen los valores de
en las cuatro normas más empleadas para algunos valores en aumento de k (tenerlo en cuenta, debido a la forma particular de esta matriz,
): Para un operador lineal acotado A y la norma operacional ||·||, se tiene de nuevo: A un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se le denomina operador espectraloide si su radio espectral coincide con su radio numérico.
Un ejemplo de este tipo de operador es un operador normal.
El radio espectral de un grafo finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia.
Esta definición es válida para los casos de grafos infinitos con grados limitados de vértices (por ej.
existe algún número real C, como el grado de cada vértice del grafo, que es menor que C).