Modelo de Ising

Esto lo hace muy útil para ensayar nuevos tipos de aproximaciones y luego comparar con el resultado real.El modelo de Ising fue inventado por el físico Wilhelm Lenz (1920), que lo concibió como un problema para su alumno Ernst Ising para demostrar que el sistema presentaba una transición de fase.Ising (1925) demostró que en una dimensión no existía tal transición de fase, resolviéndolo en su tesis de 1924,[1]​ aunque le provocó una profunda desmoralización e hizo que renunciara a la física estadística.Este apartado se limitará al modelo de Ising más conocido y simple, que además posee solución exacta.El sentido del espín queda determinado mediante la interacción de la partícula con sus vecinas y por fluctuaciones térmicas.donde: Por ejemplo, supongamos que tenemos todos los espines apuntando hacia arriba, esto esveces el número diferentes parejas de próximos vecinos, que esEl primer estado excitado es que un solo espín apunte hacia abajo, con energíaEl problema se resuelve simplemente calculando la función de partición (véase Colectivo Canónico):se refiere a suma sobre todas las configuraciones posibles de losEn el modelo de Ising hay en realidad mucha física.Pasemos a revisarla un poco antes de plantear la solución completa.Lo que físicamente queremos obtener del modelo es su magnetización total.Como cada partícula tiene un espín, cuando se orienten todas hacia arriba, por ejemplo, tendremos una magnetización totalPodría ocurrir, por el contrario, que haya el mismo número de partículas hacia arriba que hacia abajo, con un resultado total entonces de magnetización nula (La pregunta que queremos responder es en realidad ¿Cuánto vale la magnetización total en función de la temperatura?.Pensemos en el tipo de interacción que hemos introducido.Si dos espines vecinos apuntan en la misma dirección su energía mutua esDe esta manera, el estado fundamental minimiza la energíaSin embargo cuando sube la temperatura la entropía comienza a tomar importancia en la cantidadExiste solución para variantes de dos dimensiones, pero se sabe que un modelo de tres dimensiones no tiene solución; lo que constituye un problema operativo.El modelo de dos dimensiones fue resuelto de forma brillante por Onsager,[2]​ quien recibió más tarde el premio Nobel por esta y otras aportaciones a la física estadística.La energía libre del modelo de Ising en dos dimensiones sin campo externo es:Una vez conocida la expresión para la energía libre en función de sus variables naturales ya tenemos toda la información termodinámica del sistema.Si nos fijamos en la energía libre de arriba, cuando el argumento del logaritmo tienda a cero este diverge y tenemos un punto singular.Se han desarrollado multitud de variantes del modelo, la mayoría no poseen todavía solución analítica exacta, si bien es cierto que se saben muchas propiedades de estos debido a técnicas computacionales.La función de partición será (suponiendo condición cíclica):En lugar de una matriz plana, podemos imaginar los espines colocados en arreglo esquiespaciados en tres dimensiones.Parece extraño, pero este modelo no tiene a día de hoy solución analítica exacta.Esto hace que no aparezca transición de fase y hace el problema irresoluble analíticamente.