Unidad imaginaria
A pesar de que no hay un número real con esta propiedad,
Un ejemplo sencillo del uso de i en un número complejo es
, en el que existe al menos una raíz para cada polinomio P(x) que no sea constante (véase clausura algebraica y teorema Fundamental del álgebra).
El término "imaginario" es utilizado porque no hay un número real que tenga un cuadrado negativo.
, así como hay dos raíces cuadradas complejas de cada número real que no sea cero, el cual tiene una raíz cuadrada doble.
definida de este modo, se deduce directamente del álgebra que
como una cantidad desconocida mientras se manipula una expresión, y después utilizando la definición para reemplazar cualquier ocurrencia de
es el punto localizado a una unidad del origen a lo largo del eje imaginario (el cual es ortogonal al eje real).
tiene dos soluciones distintas, las cuales son igualmente válidas y las cuales pasan a ser aditivas y multiplicativas inversas la una de la otra.
, parece que la definición es ambigua (más precisamente, no bien definida).
Aun así, no se produce ambigüedad siempre que se elija una u otra de las soluciones y sean etiquetadas como "
son perfectamente válidas para la comprobación de las propiedades asociadas a los números complejos, esto es, la estructura se sostiene exactamente igual.
con una de ellas etiquetadas con un signo menos es puramente una reliquia de notación; no se puede decir que alguna raíz es más primaria o fundamental que la otra, y tampoco que una de ellas es "positiva" o "negativa".
La explicación más precisa es decir que aunque el campo complejo, definido como ℝ[x]/(x2 + 1) (véase número complejo), es único hasta el isomorfismo, no es único hasta un isomorfismo único — Hay exactamente dos automorfismos de campo de ℝ[x]/(x2) los cuales mantienen cada número real fijo: la identidad y el automorfismo que envía x a −x.
Véase también Complejo conjugado y grupo de Galois.
ℝ[x]/(x2 + 1) Un problema similar surge si los números complejos son interpretados como matrices reales de 2×2, porque entonces
Una explicación más precisa es decir que el grupo de automorfismo del grupo ortogonal especial SO(2, ℝ) tiene exactamente dos elementos: la identidad y el automorfismo que intercambia rotaciones "CW" (en sentido de las manecillas del reloj) y "CCW" (en sentido contrario a las manecillas del reloj).
Todas estas ambigüedades pueden ser resueltas adoptando una definición más rigurosa de número complejo, y eligiendo explícitamente a la unidad imaginaria como una de las soluciones a la ecuación.
, en la construcción habitual de los números complejos con vectores bidimensionales.
va a estar ubicado en el II o IV cuadrante.
De hecho, hay muchas soluciones a x2 = +1 y x 2 = 0 también.
Cualquiera tales #x pueden ser tomados como vector de base, junto con 1, para formar un planar subálgebra.
Sin embargo, se debe tener mucho cuidado al manipular fórmulas que involucran radicales.
[2] i tiene dos raíces cuadradas, como todos los números complejos (excepto el cero, que tiene raíz doble).Estas dos raíces se pueden expresar como los números complejos[nb 1] donde x y y son parámetros reales o equivalentes determinados Como los términos reales e imaginarios van separados, se reagrupan a: y por coeficientes imaginarios, al separar el coeficiente real e imaginario, tenemos un sistema de dos ecuaciones: Substituyendo y = 1/2x en la primera ecuación, tenemos Cómo x es un número real, es una ecuación con dos soluciones reales x: x = 1/√2 y x = −1/√2.
Al elevar al cuadrado ambas expresiones se obtiene: Utilizando la señal radical para la raíz cuadrada principal da: Las tres raíces cúbicas de i son: Al igual que todas las raíces de 1 , todas las raíces de i son los vértices de polígonos regulares inscritos dentro del círculo unitario en el plano complejo.
Multiplicando un número complejo por i da: Dividiendo por i es equivalente a multiplicar por el recíproco de i: Utilizando esta identidad para generalizar la división por i a todos los números complejos da: (Esto es equivalente a un 90° en el sentido de las agujas del reloj rotación de un vector sobre el origen en el plano complejo.)
Las potencias de i se repiten en un ciclo expresable con el siguiente patrón, donde n es cualquier número entero: Esto lleva a la conclusión de que Dónde mod representa el operación módulo.
Equivalentemente: Haciendo uso de la fórmula de Euler, dónde ii es donde k ∈ ℤ El factorial de la unidad imaginaria i suele darse en términos de la función gamma evaluada en 1 + i : También, Muchas operaciones matemáticas que pueden ser llevado a cabo con los números reales también pueden ser llevados a cabo con i, como exponenciación, raíces, logaritmos, y funciones trigonométricas.
A continuación se enumeran los resultados de la rama elegida con mayor frecuencia.
Un número elevado a la potencia n i es: La raíz enésima de un número es Como con cualquier logaritmo complejo , la base logarítmica i no está definida de manera única.
