Existen tres tipos de bicuaterniones correspondientes a los números complejos y sus variaciones: Este artículo trata sobre los bicuaterniones ordinarios, ideados por William Rowan Hamilton en 1844.
[1] Algunos de los defensores más destacados de estos bicuaterniones incluyen a Alexander Macfarlene, Arthur W. Conway, Ludwik Silberstein y Cornelius Lanczos.
En otras palabras, los bicuaterniones son solo la complejificación de los cuaterniones.
[5] Sea {1, i, j, k} la base de los cuaterniones (reales) H, y sean u, v, w, x números complejos.
[6] Para distinguir raíces cuadradas de menos uno en los bicuaterniones, Hamilton[7][8] y Arthur W. Conway usaron la convención de representar la raíz cuadrada de menos uno en el campo escalar C con la letra h para evitar la confusión con la letra i utilizada en el grupo cuaterniónico.
Se supone la conmutatividad del campo escalar con el grupo de cuaterniones: Hamilton introdujo los términos bivector, biconjugado, bitensor y biversor para ampliar las nociones utilizadas con los cuaterniones reales H. La exposición principal de Hamilton sobre los bicuaterniones se produjo en 1853 en sus Conferencias sobre cuaterniones.
Considerada con las operaciones de suma por componentes y multiplicación según el grupo cuaterniónico, esta colección forma un álgebra cuatridimensional sobre los números complejos C. El álgebra de los bicuaterniones es asociativa, pero no conmutativa.
Un bicuaternión es unitario o un divisor de cero.
Consúltese Como un álgebra de composición a continuación.
Cuando este producto matricial se interpreta como i j= k, entonces se obtiene un subgrupo de matrices que es isomorfo con respecto al grupo cuaterniónico.
Como consecuencia, representa el bicuaternión q= u 1 + v i + w j + x k. Dada cualquier matriz compleja 2 × 2, existen valores complejos u, v, w y x para ponerlo en esta forma, de modo que el anillo de las matrices M(2, C) sea isomorfo[10] al anillo bicuaterniónico.
Considerando el álgebra bicuaterniónica sobre el campo escalar de los números reales R, el conjunto forma una base, por lo que el álgebra tiene ocho dimensiones reales.
La subálgebra dada por es un anillo isomorfo al plano de los números complejos hiperbólicos, que tiene una estructura algebraica construida sobre la hipérbola unitaria.
Los elementos hj y hk también determinan dichas subálgebras.
Además, es una subálgebra isomorfa de los números bicomplejos.
Una tercera subálgebra llamada cocuaterniónica es generada por hj y hk.
Estos elementos generan el grupo diédrico del cuadrado.
El subespacio vectorial con base {1, i, hj, hk}, por lo tanto, está cerrado bajo la multiplicación y forma el álgebra de los cocuaterniones.
En el contexto del álgebra de la mecánica cuántica y los espinores, los bicuaterniones hi, hj y hk (o sus negativos), vistos según la representación M2(C), se denominan matrices de Pauli.
Esto permite definir la inversa mediante Considérese ahora el subespacio lineal[11] M no es una subálgebra, ya que no es cerrada bajo el producto; como por ejemplo se ve en
De hecho, M no puede formar un álgebra si ni siquiera es un magma.
Entonces, la transformación de Lorentz asociada con g viene dada por Proposición: si q está en M, entonces T(q) también está en M. Demostración:
Entonces: Como los bicuaterniones han sido un elemento fijo del álgebra lineal desde los inicios de la física matemática, existe una variedad de conceptos que se ilustran o representan mediante el álgebra de bicuaterniones.
; entonces la transformación de Lorentz correspondiente a g viene dada por
es una subálgebra conmutativa isomorfa al plano de los números complejos hiperbólicos.
Cuando se ve en la representación matricial, G se llama grupo lineal especial Transformación de Möbius en M(2, C).
Los nuevos métodos se fundaron en bases de vectores en el conjunto que se llama cono de luz complejo.
La representación del grupo de Lorentz anterior coincide con lo que los físicos denominan cuadrivector.
a = ( u , v ) , b = ( w , z ) ,
Cuando (a, b)* se escribe como un cuadrivector de números complejos ordinarios, Los bicuaterniones forman un ejemplo de álgebra cuaterniónica y tiene norma Dos bicuaterniones p y q satisfacen que N(pq)= N(p) N(q), lo que indica que N es una forma cuadrática que admite composición, de modo que los bicuaterniones forman un álgebra de composición.