Cuaternión hiperbólico

En el campo del álgebra abstracta, el álgebra de los cuaterniones hiperbólicos es un álgebra no asociativa sobre los números reales con elementos de la forma donde los cuadrados de i, j y k son +1 y los elementos distintos de {i, j, k} se multiplican con la propiedad anticonmutativa.Al igual que los cuaterniones, el conjunto de los cuaterniones hiperbólicos forma un espacio vectorial sobre los números reales de dimensión 4.son números reales y el conjunto de basestiene estos productos: Usando la distributividad, estas relaciones se pueden usar para multiplicar dos cuaterniones hiperbólicos cualesquiera.De hecho, este ejemplo muestra que los cuaterniones hiperbólicos ni siquiera son un álgebra alternativa.Aunque este conjunto base no forma un grupo, el conjunto forma un bucle, es decir, un cuasigrupo con un elemento de identidad.También se observa que cualquier subplano del conjunto M de los cuaterniones hiperbólicos que contenga el eje real forma un plano de números complejos divididos., entonces el producto es la forma cuadrática utilizada en la teoría del espacio-tiempo.Téngase en cuenta que el conjunto de unidades U = {q : qq* ≠ 0 } no está cerrado bajo la multiplicación (consúltense los enlaces externos para obtener más detalles).Sin embargo, se centra en la cinemática analítica al sugerir un modelo matemático: cuando se selecciona un vector unitario r en los cuaterniones hiperbólicos, entonces r 2 = +1.transforma Dr mediante Dado que la dirección r en el espacio es arbitraria, esta multiplicación hiperbólica de cuaterniones puede expresar cualquier transformación de Lorentz usando el parámetro a llamado rapidez.En él trata un modelo de espacio hiperbólico H3 sobre un hiperboloide: Este modelo isótropo se llama modelo hiperboloídico y consta de todos los versores hiperbólicos en el anillo de los cuaterniones hiperbólicos.Pero es un aspecto sorprendente de las matemáticas finitas lo que hace que el anillo de los cuaterniones hiperbólicos sea diferente: La basedel espacio vectorial de los cuaterniones hiperbólicos no es cerrado bajo la multiplicación: por ejemplo,Al ser finito, es un cuadrado latino o cuasigrupo, una estructura matemática periférica.: el físico de la Universidad Yale Josiah Willard Gibbs tenía folletos con el cuadrado más uno en su sistema vectorial tridimensional.En 1892 reunió su trabajo en Transactions of the Royal Society A[2]​ donde dice que su sistema vectorial es Así pues, la aparición de los cuaterniones hiperbólicos de Macfarlane tuvo alguna motivación, pero la desagradable no asociatividad precipitó una reacción en su contra.Michael J. Crowe dedica el capítulo seis de su libro A History of Vector Analysis a las diversas opiniones publicadas y señala sobre el cuaternión hiperbólico: En 1899 Charles Jasper Joly reparó en el cuaternión hiperbólico y en su propiedad de no ser asociativo[4]​ mientras atribuía su origen a Oliver Heaviside.En cuanto a las matemáticas, el cuaternión hiperbólico es otro número hipercomplejo, como se denominaba a este tipo de estructuras en aquella época.En 1899, Alfred North Whitehead promovió el álgebra universal, abogando por su inclusión.Las Proceedings of the Royal Society of Edinburgh publicaron el artículo sobre "Cuaterniones hiperbólicos" en 1900, en el que Macfarlane recupera la asociatividad para la multiplicación al revertir la complejificación de los cuaterniones, y empleó algunas expresiones que posteriormente popularizó Wolfgang Pauli: donde Macfarlane escribió las matrices de Pauli tienen la forma mientras se hace referencia a los mismos cuaterniones complejizados.La frase inicial del artículo es "Es bien sabido que los cuaterniones están íntimamente relacionados con la trigonometría esférica y, de hecho, reducen el tema a una rama del álgebra".El esfuerzo se ve reforzado por una lámina de nueve figuras en la página 181.