Bucle es el cuasigrupo que posee un divisor universal o elemento neutro.
Sean los siguientes números: x, y, a y b, elementos del cuasigrupo Q, se verifica que existe una única manera de expresarlos entre sí a través del operador *: Tomando la tabla de Cayley de (Q, *), dos números cualesquiera pertenecientes a Q, arroja como resultado al operarlos entre sí en el sentido estricto de que el primer operando se busca en la columna y el operado, en la fila, el resultado se conoce en el lugar donde columna y fila se encuentran.
Esta divisibilidad puede establecerse de dos maneras, en función de que se trate del cuasigrupo (Q, \) o del (Q, /): Cuando la división es bilátera, el resultado de la división por la izquierda y por la derecha coinciden, verificándose que x = y necesariamente, en este caso, el cuasigrupo es (Q, |).
En una estructura algebraica, la identidad es una ecuación en la que todas las variables están tácitamente cuantificadas universalmente, y en el que todas las operaciones se encuentran entre las operaciones primitivas propias de la estructura.
Las estructuras algebraicas que tienen solamente identidad (elemento neutro) se llaman variedades.
Muchos resultados estándar del álgebra universal ocupan sólo de las variedades.
Los cuasigrupos son las variedades en que la división izquierda y derecha se toman como primitivas.
[1] Un bucle es un cuasigrupo con un elemento neutro e de tal manera que: De ello se sigue que el elemento neutro e es único, y que cada elemento de Q tiene un único inverso a izquierda y derecha.
[2] La Teoría de Bucles no es una simple generalización, sino una teoría con un origen y que a día de hoy aún sigue en movimiento.
Esta teoría se desarrolló años atrás, como ejemplo tenemos una descripción en el Álgebra de Zorn donde se habla del bucle de los elementos invertibles.
Las asignaciones inversas son la división a izquierda y derecha, es decir: En esta notación, las correspondencias entre las operaciones de multiplicación y división de los cuasigropos (ver álgebra universal) son: donde 1 denota la identidad en Q.
En este caso el elemento inverso se suele designar por
Los Homomorfismos de los cuasigrupos preservan necesariamente la división por la izquierda y por la derecha, y además, cuando existen, los elementos neutros (en el caso de los bucles).
Esto hace un total de seis operaciones del cuasigrupo, que se llaman "conjugadas" el uno del otro (y de sí mismos).
Q, de tal manera que la ecuación f(x1,...,xn) = y tiene una solución única para cualquiera variable, si todas las otras n variables se especifican de manera arbitraria.
Un cuasigrupo 0-ario, o sin argumentos, es sólo un elemento constante de Q.
Un cuasigrupo 1-ario, o unitario, es una biyección de Q en sí mismo.
Un cuasigrupo derecho (Q, *, /) es un tipo de álgebra (2,2) que satisface las siguientes igualdades: Un cuasigrupo izquierdo (Q, *, \) es un tipo de álgebra (2,2) que satisface las siguientes igualdades: