Clausura (matemáticas)

Por ejemplo, los números naturales son cerrados con respecto a la suma, pero no con respecto a la resta: 1 − 2 no es un número natural, aunque tanto el 1 como el 2 lo son.A menudo se le llama extensión o conjunto generado.Sea S un conjunto equipado con uno o varios métodos para producir elementos de S a partir de otros elementos de S.[nota 1]​ Se dice que un subconjunto X de S está "cerrado" según estos métodos si, cuando todos los elementos de entrada están en X, todos los resultados posibles también están en X.A veces, también se puede decir que X tiene la propiedad de cierre.(es la intersección de todos los subconjuntos cerrados que contienen a Y).Dependiendo del contexto, X se denomina cierre de Y o el conjunto generado o extendido por Y.Una estructura algebraica es un conjunto equipado con operaciones que satisfacen algunos axiomas.En este caso, vale la pena agregar algunas operaciones auxiliares para que todos los axiomas se conviertan en identidades o fórmulas puramente cuantificadas universalmente.Consúltese estructura algebraica para obtener más detalles.En este contexto, dada una estructura algebraica S, una subestructura de S es un subconjunto que está cerrado bajo todas las operaciones de S, incluidas las operaciones auxiliares que se necesitan para evitar cuantificadores de existencia.Una subestructura es una estructura algebraica del mismo tipo que S. De ello se deduce que, en un ejemplo específico, cuando se demuestra la clausura, no es necesario comprobar los axiomas para demostrar que una subestructura es una estructura del mismo tipo.Entonces, un subconjunto no vacío de un grupo que está cerrado bajo la multiplicación y la inversión es un grupo que se puede denominar subgrupo.En álgebra lineal, el cierre de un subconjunto no vacío de un espacio vectorial (bajo las operaciones del espacio vectorial, es decir, la suma y la multiplicación escalar) es el sistema generador de este subconjunto.Es un espacio vectorial por el resultado general anterior, y se puede demostrar fácilmente que es el conjunto de las combinaciones lineales de los elementos del subconjunto.Se pueden dar ejemplos similares para casi todas las estructuras algebraicas, a veces con alguna terminología específica.Una relación binaria en un conjunto A se puede definir como un subconjunto R deSe pueden usar muchas propiedades u operaciones en relaciones para definir cierres.Algunas de las más comunes son las siguientes: Un preorden es una relación reflexiva y transitiva.De ello se deduce que el cierre transitivo reflexivo de una relación es el preorden más pequeño que la contiene.En los apartados anteriores, se consideran cierres para subconjuntos de un conjunto determinado.Dado un conjunto parcialmente ordenado S cuyo orden parcial se denota con el símbolo ≤, un operador de cierre en S es una funciónUn elemento de S está cerrado si es su propio cierre, es decir, siPor idempotencia, un elemento está cerrado si y solo si es el cierre de algún elemento de S. Un ejemplo de operador de cierre que no opera en subconjuntos lo proporciona la función techo, que asigna a cada número real x el entero más pequeño que no sea menor que x.sea la intersección de los conjuntos cerrados que contienen a X.Esta equivalencia sigue siendo cierta para conjuntos parcialmente ordenados con propiedad del mayor límite inferior, si se reemplazan "conjuntos cerrados" por "elementos cerrados" y "intersección" por "límite inferior máximo".