una relación binaria aplicada sobre un conjunto
, la clausura simétrica o cierre simétrico de
{\displaystyle CS(R)}
, es la relación simétrica más pequeña aplicada sobre
que contiene a
En otras palabras,
es la relación binaria que verifica: Note que si
{\displaystyle CS(R)=R}
sobre un conjunto de n elementos
, para calcular la clausura simétrica conviene representar esta relación binaria como una matriz booleana
i j
i j
{\displaystyle B_{\mathcal {R}}=[b_{ij}]\quad {\mbox{donde}}\quad b_{ij}:={\begin{cases}1&{\mbox{si}}\ a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\\0&{\mbox{si}}\ \lnot a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\end{cases}}}
Es decir, si el elemento ai y el elemento aj están relacionados entonces en la fila i y la columna j de la matriz boleana aparecerá un 1, y si no están relacionados aparecerá un 0.
Si tenemos una relación expresada como matriz booleana, para obtener la matriz que representará a la clausura simétrica se cambian algunos ceros (0) por unos (1), en la matriz de la relación original para que la matriz final sea simétrica respecto de la diagonal principal.
La regla de cambio es: si
i j
j i
entonces debemos hacer el siguiente cambio
i j
j i
i j
j i
{\displaystyle {\bar {b}}_{ij}:={\bar {b}}_{ji}=\max\{b_{ij},b_{ji}\}}