Cuaternión dual
En mecánica, los cuaterniones duales se aplican como números para representar transformaciones rígidas en tres dimensiones.
Debido a que las transformaciones rígidas tienen seis grados reales de libertad, los cuaterniones dobles incluyen dos restricciones algebraicas para esta aplicación.
Los números duales a menudo se escriben en la forma â = a + εb, donde ε es la unidad dual que conmuta con i, j, k y tiene la propiedad ε2 = 0.
Cuaterniones duales de magnitud 1 se utilizan para representar desplazamientos euclidianos espaciales.
Obsérvese que el requisito de que  Â* = 1 introduce dos restricciones algebraicas en los componentes de Â, es decir Si p + ε q es un cuaternión dual y p no es cero, entonces el cuaternión dual inverso viene dado por Por lo tanto, los elementos del subespacio { ε q : q ∈ H } no tienen inversos.
Resulta ser el maximal ideal único del anillo de los números duales.
Los números duales forman un anillo local, ya que existe un ideal máximo único.
Los cuaterniones duales se han utilizado para estudiar las transformaciones en el grupo euclídeo.
Un beneficio de la formulación de los cuaterniones duales relativa a la composición de dos desplazamientos espaciales DB = ([RB], b) y DA = ([RA], a) es que el cuaternión dual resultante produce directamente el eje helicoidal y el ángulo doble del desplazamiento compuesto DC = DBDA.
En general, el cuaternión dual asociado con un desplazamiento espacial D = ([A], d) se construye a partir de su eje helicoidal S = (S, V) y el ángulo doble (φ, d) donde φ es la rotación y d la proyección sobre este eje, que define el desplazamiento D. El cuaternión dual asociado está dado por Sea la composición del desplazamiento DB con DA siendo el desplazamiento DC = DBDA.
[12] Los tres ejes helicoidales A, B y C forman un triángulo espacial y los ángulos dobles en estos vértices formados por las normales comunes que forman los lados de este triángulo están directamente relacionados con los ángulos dobles de los tres desplazamientos espaciales.
Usando esta notación, el cuaternión dual para el desplazamiento D = ([A], d) viene dado por Sean las coordenadas plückerianas de una recta en la dirección x que atraviesa un punto p de un cuerpo en movimiento y sus coordenadas en el marco de referencia fijo situado en la dirección X a través del punto P dado por, Entonces, el cuaternión dual del desplazamiento de este cuerpo transforma las coordenadas plückerianas en el marco móvil en coordenadas plückerianas en el marco fijo mediante la fórmula Usando la forma matricial del producto de cuaterniones duales, esto se convierte en Este cálculo se realiza fácilmente mediante operaciones matriciales.
Puede ser útil, especialmente en movimientos de sólidos rígidos, representar cuaterniones duales como matrices homogéneas.
viene dada por[13] Estos cuaterniones duales (o en realidad sus transformaciones en vectores 3D) pueden representarse mediante la matriz de transformación homogénea donde la matriz ortogonal de 3 × 3 viene dada por Para el vector 3D la transformación por T está dada por Dado que tanto Eduard Study como William Kingdon Clifford usaron y escribieron sobre cuaterniones duales, a veces los autores se refieren a los cuaterniones duales como "bicuaterniones de Study" o como "bicuaterniones de Clifford".
