Teoría helicoidal
La teoría helicoidal (nombre original en inglés:"screw theory", literalmente, teoría del tornillo) se ocupa del cálculo algebraico de pares de vectores, como fuerzas y momentos o velocidad angular y lineal, que surgen en la cinemática y dinámica de cuerpos rígidos.
Un resultado importante de la teoría helicoidal es que los cálculos geométricos con puntos ligados a vectores poseen cálculos geométricos paralelos para las líneas obtenidas al reemplazar vectores por helicopares.
Esto se debe en parte a la relación entre los helicopares y los cuaterniones duales, utilizados para interpolar el movimiento de un cuerpo rígido.
Otros autores con aportaciones destacadas incluyen a Julius Plücker, W. K. Clifford, F. M. Dimentberg, Kenneth H. Hunt, y J. R.
Análogamente, los seis parámetros que definen un desplazamiento espacial también pueden ser dados por los tres ángulos de Euler que definen la rotación y los tres componentes del vector de traslación.
Por lo tanto, el campo helicoidal formado por los vectores de velocidad en un cuerpo rígido en movimiento se aplana a medida que los puntos se separan radialmente del eje de torsión.
Si el movimiento del helicopar tiene un paso infinito, entonces todas las trayectorias son líneas rectas en la misma dirección, y se trata de una traslación.
Sea un helicopar un par ordenado con la forma donde S y V son vectores reales tridimensionales.
La suma y la diferencia de estos pares ordenados se calculan por componentes.
Ahora, introdúzcase el par ordenado de números reales â = (a, b) llamados escalares duales.
Que la suma y la resta de estos números sean componentes y définase la multiplicación como La multiplicación de un helicopar S = (S, V) por el escalar dual â = (a, b) se calcula en forma de componentes para que sea, Finalmente, se introducen los productos escalar y vectorial de helicopares mediante las fórmulas: que es un doble escalar, y que es un helicopar.
Los productos escalar y vectorial de helicopares satisfacen las identidades del álgebra vectorial, y permiten cálculos que son directamente análogos a los cálculos en el álgebra de vectores.
Estas definiciones permiten obtener los siguientes resultados: Un ejemplo común de un helicopar es la llave asociada con una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido.
La fuerza y el momento resultantes obtenidos de todas las fuerzas Fi i = 1, ..., n, actuando sobre un cuerpo rígido es simplemente la suma de las llaves individuales Wi, es decir Obsérvese que el caso de dos fuerzas iguales pero opuestas F' y -F que actúan en los puntos A y B, respectivamente, produce el resultado Esto demuestra que los helicopares de la forma se pueden interpretar como momentos puros.
La recta en el cuerpo definida por los dos puntos p y q, tiene las coordenadas plückerianas Entonces, en el marco fijo, se obtienen las coordenadas del punto transformado P = [A] p + d y Q = [A] q + d, que producen Por lo tanto, un desplazamiento espacial define una transformación para las coordenadas plückerianas de las rectas dadas por La matriz [D] es la matriz simétrica oblicua que realiza la operación del producto cruzado, es decir [D]y=dxy.
La idea también aparece en la fórmula de Euler, parametrizando la circunferencia goniométrica en el plano complejo.
Téngase en cuenta que F es estable bajo rotación q → p−1 q p y bajo la traslación (1 + ε r) (1 + ε s) = 1 + ε (r + s) para cualquier cuaternión de vectores r y s. F es un 3-plano en el espacio de ocho dimensiones de los cuaterniones duales.
[13] Coolidge en 1885 basó su descripción simplemente en las herramientas que Hamilton había utilizado para los cuaterniones reales.
[4] En este caso, el giro se define como De esta manera, el cálculo del trabajo toma la forma En este caso, si entonces la llave W es recíproca al giro T.
