En geometría y álgebra, una variedad lineal es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Geométricamente, es la generalización a cualquier número de dimensiones de las rectas y los planos.
También es el concepto análogo al de subespacio vectorial en el ámbito de la geometría afín (es decir, una variedad lineal es la denominación correcta de lo que intuitivamente denominaríamos «subespacio afín»).
Sea un subconjunto no vacío X de un espacio vectorial E sobre K, X se llama variedad lineal en E si para todo f, g de X y todo α, β de K : α f + β g está en X.
es el espacio vectorial asociado a
es variedad lineal si existen un subespacio vectorial
Vamos a ver que todo subconjunto
es una variedad lineal según la primera definición: (1)
sea un conjunto no vacío, lo que es cierto, pues
sea un espacio vectorial, lo que es cierto porque
esté bien definida, y que tenga las propiedades que debe tener una aplicación
Veamos las tres propiedades: Por lo tanto,
Para acabar de demostrar que las dos definiciones son equivalentes, vamos a ver el recíproco: si tenemos un subconjunto
tal que es un espacio afín
La última equivalencia porque la aplicación punto más vector en un espacio afín está definida en los conjuntos
y dadas dos variedades lineales
subespacios, definimos la intersección de
Esto nos permite afirmar que si
y esta es la forma que tienen en general las variedades lineales.
y dadas dos variedades lineales
subespacios, definimos la suma de
como la variedad lineal más pequeña que contiene a
a la vez, y la denotamos como
una variedad lineal arbitraria que contenga a
Por lo tanto, hemos demostrado la igualdad entre conjuntos que buscábamos.
y esta es la forma que tienen en general las variedades lineales.
Si definimos la dimensión de una variedad lineal
), y consideramos las variedades lineales
Así, por definición de dimensión de una variedad lineal y la fórmula de Grassmann para espacios vectoriales, tenemos que
Por tanto, de la primera igualdad obtenemos que