Fórmula de Grassmann
En álgebra lineal y en geometría afín, la fórmula de Grassmann es una expresión que relaciona la dimensión de dos subespacios con las dimensiones de la intersección y de la suma de dichos subespacios.
Como ejemplo, considérense dos planos en el espacio de tres dimensiones, de modo que compartan un origen común.
Cada uno de estos planos, por separado, tiene dos dimensiones.
Si los planos son distintos, sus puntos son coincidentes sobre una misma recta que determina su intersección.
Cada plano puede considerarse como un subespacio de dos dimensiones, y la recta como el subespacio intersección.
La suma de ambos planos constituye todo el espacio, por ser este último el de máxima dimensión posible.
La dimensión de este espacio suma es tres.
Si se suman las dimensiones de los planos individuales y se resta la dimensión de la recta, se obtiene la dimensión del espacio tridimensional.
Por lo tanto, bajo estas condiciones, es posible afirmar que la dimensión del espacio suma es igual a la suma de las dimensiones de los subespacios individuales, menos su intersección.
Este último es, precisamente, el enunciado de Grassmann.
Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera, sean U y V dos conjuntos que determinan subespacios.
La fórmula de Grassmann relaciona las dimensiones de U y V de la siguiente manera.
dim(U + V) = dim U + dim V — dim(U ∩ V)[1] Sean dos subespacios vectoriales U y V, en un espacio vectorial definido sobre un cuerpo
Considérense las bases y el sistema
de modo que se cumpla
[Nota 2] Es necesario demostrar primero que el sistema
es efectivamente una base, para esto basta con que sus vectores sean linealmente independientes, ya que generan al subespacio suma
{\displaystyle \alpha _{h},\mu _{i},\nu _{j}\in \mathbb {K} }
para todos los h, i, j. Tómese ahora un vector en V de la forma (1)
La igualdad anterior queda así (2)
, y como dijimos que
Esta relación nos permite expresar a
Igualamos (1) y (3), queda
y por lo tanto linealmente independientes, es decir que para esta igualdad obtenemos
Por lo tanto, se obtuvo que los escalares son, necesariamente, nulos.
es linealmente independiente, y por lo tanto base de
, ya que partimos de la ecuación
y llegamos a deducir que esto implica
Según las propiedades de la suma,
pero esto equivale a
