Eje helicoidal

El teorema de Chasles demuestra que cada desplazamiento euclídeo en el espacio tridimensional tiene un eje axial asociado, y el desplazamiento se puede descomponer en una rotación alrededor y en un deslizamiento respecto a este eje helicoidal.

El primer vector identifica la dirección del eje y el segundo localiza su posición.

Cuando un desplazamiento espacial se convierte en un desplazamiento plano, el eje helicoidal se convierte en el "polo de desplazamiento", y el eje helicoidal instantáneo se convierte en el polo de velocidad, o centro instantáneo de rotación, también denominado simplemente centro instantáneo.

[5]​ Recientemente, el trabajo de Gulio Mozzi se ha identificado por haber presentado un resultado similar en 1763.

Excepto para φ = 180°, se debe distinguir un desplazamiento helicoidal de su imagen especular.

Estos movimientos rígidos se definen por las transformaciones de x en R3 dado por Consiste en una rotación tridimensional A seguida de una traslación del vector d. Una rotación tridimensional A tiene un eje único que define una recta L. Sea el vector unitario en esta recta S para que el vector de traslación d se pueda resolver en una suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al eje L, es decir, En este caso, el movimiento rígido toma la forma Ahora, el movimiento rígido conserva la orientación D* = A(x) + d⊥ y transforma todos los puntos de R3 para que permanezcan en planos perpendiculares a L. Para un movimiento rígido de este tipo, hay un punto único c en el plano P perpendicular a L a través de 0, tal que El punto c se puede calcular como porque d⊥ no tiene un componente en la dirección del eje de A.

Un punto C en el eje helicoidal satisface la ecuación:[9]​ Se resuelve esta ecuación para C usando la fórmula de Cayley para una matriz de rotación donde [B] es la matriz antisimétrica construida a partir del vector de Rodrigues tal que Utilizando esta matriz de rotación A para obtener que se convierte en Esta ecuación se puede resolver para C en el eje helicoidal P(t) para obtener, El eje helicoidal P(t) = C + tS de este desplazamiento espacial tiene las coordenadas plückerianas S = (S, C × S).

El cuaternión dual se construye a partir del vector dual S = (S, V) que define el eje helicoidal y el ángulo dual (φ, d), donde φ es la rotación alrededor del eje y d el deslizamiento respecto a este eje, que define el desplazamiento D para obtener, Un desplazamiento espacial de puntos q representado como un vector cuaternión se puede definir utilizando cuaterniones como una aplicación donde d es el vector de traslación cuaternión y S es un cuaternión unidad, también llamado versor, dado por que define una rotación por 2θ alrededor de un eje S. En el Grupo euclídeo propio E+(3) una rotación puede ser conjugada con una traslación para desplazarla a un eje de rotación paralelo.

[10]​ En cualquier plano individual, la trayectoria formada por las ubicaciones del eje de rotación instantáneo en movimiento se conoce como centroide, y se usa en la descripción del movimiento de la articulación.