Coordenadas plückerianas

Además, este sistema permite explicar la dualidad entre puntos y rectas de la geometría proyectiva.

Para el caso del plano (los conceptos son extensibles a cualquier dimensión superior a dos), cada punto está determinado por tres números (x1, x2, k), tales que si k es distinto de 0, los cocientes (X=x1/k) e (Y=x2/k) son las coordenadas cartesianas ordinarias del punto.

Es evidente que para cualquier coeficiente real λ≠0, las ternas (x1, x2, k) y (λx1, λx2, λk) representan el mismo punto del plano proyectivo.

[2]​ Una línea recta L en el espacio euclídeo tridimensional está determinada por dos puntos de los que contiene distintos entre sí, o también por dos planos distintos que la contienen.

Es decir, cada desplazamiento entre puntos en L es un múltiplo escalar de d = y - x.

Tratando los puntos como desplazamientos desde el origen, el momento es m = x×y, donde "×" denota el producto vectorial.

Para una línea recta fija L, el área del triángulo es proporcional a la longitud del segmento entre x e y, dado que esta distancia es la base de un triángulo cuya altura (y por lo tanto, su área) permanece constante aunque la base se deslice sobre la línea paralelamente a sí misma.

Es decir, las coordenadas pueden considerarse las coordenadas homogéneas de L, en el sentido de que todos los pares (λd:λm), para λ ≠ 0, pueden ser producidos por los puntos en L y solamente en L, y cualquiera de estos pares siempre determina una única línea recta cuando d no sea cero y cuando d•m  = 0.

Además, este enfoque se extiende para incluir puntos, rectas y planos "del infinito", en el sentido de la geometría proyectiva.

Por lo tanto, se puede establecer d =axb, que no es cero porque a y b no son ni cero ni paralelos (los planos son distintos y se cruzan).

La línea recta L pasa por el punto D y es ortogonal al plano de la imagen.

Los puntos C y E son los puntos más cercanos en esos planos al origen B, por lo tanto los ángulos BCD y BED son ángulos rectos y por eso los puntos B, C, D, E se encuentran en un círculo (debido a un corolario del teorema de Tales).

Esto implica que Según la fórmula del producto mixto, Entonces Cuando ||r|| = 0, la línea recta L pasa por el origen con la dirección d. Si ||r|| > 0, la línea tiene la dirección d; el plano que incluye el origen y la línea recta L tiene el vector normal m; la línea es tangente a un círculo en ese plano (normal a m y perpendicular al plano de la imagen) centrado en el origen y con el radio ||r||.

Aunque la definición algebraica habitual tiende a ocultar la relación, (d:m) son las coordenadas plückerianas de L. En un espacio proyectivo tridimensional P3, sea L una línea recta que pasa por dos puntos distintos x e y con coordenadas homogéneas (x0:x1:x2:x3) e (y0:y1:y2:y3).

Las coordenadas de Plücker pij se definen de la siguiente manera: Esto implica que pii = 0 y pij = −pji, reduciendo las posibilidades a solo seis (4 sobre 2) cantidades independientes.

Para apreciar estos hechos, sea M la matriz 4 × 2 con las coordenadas del punto como columnas La coordenada plückeriana pij es el determinante de las filas i y j de M. Debido a que x e y son puntos distintos, las columnas de M son linealmente independientes; M tiene rango 2.

Así, se tiene que: donde Alternativamente, una línea recta puede describirse como la intersección de dos planos.

También se puede comprobar sabiendo que el vector es perpendicular al vector (como ya se ha visto), y por lo tanto, el producto escalar de d y m debe ser cero.

Algunos de estos puntos posibles pueden ser inadmisibles porque todas las coordenadas son cero, pero como al menos una coordenada plückeriana es distinta de cero, se garantizan al menos dos puntos distintos.

Luego se deduce inmediatamente que las coordenadas plückerianas calculadas desde M, pij = qij, excepto para Pero si qij satisface la relación de Plücker q23+q02q31+q03q12 =0, entonces p23 =q23, completando el conjunto de identidades.

Dos líneas rectas en P3 se cruzan sin cortarse o son coplanarias, y en este último caso son coincidentes o se intersecan en un punto único.

Si pij y p&primeij son las coordenadas plückerianas de dos rectas, entonces son coplanares precisamente cuando d⋅m′+m⋅d′ = 0, como se muestra en Cuando las líneas son oblicuas entre sí, el signo del resultado indica el sentido del cruce: positivo si un helicoide a la derecha discurre de L a L′ La relación cuadrática de Plücker establece esencialmente que una línea es coplanar consigo misma.

En el caso de que dos líneas rectas sean coplanarias pero no paralelas, su plano común tiene la ecuación donde x = (x1, x2, x3).

Dualmente, dos líneas rectas coplanarias, ninguna de las cuales contiene el origen, tienen un punto común Para manejar las líneas que no cumplen con esta restricción, véanse las referencias.

Dado un plano con ecuación o más concisamente 0 = a0x0+a•x; y dada una línea recga que no pertenece al plano con coordenadas plückerianas (d:m'), entonces su punto de intersección es Las coordenadas del punto, (x0:x1:x2:x3), también se pueden expresar en términos de coordenadas Plücker como Dualmente, dado un punto (y0:y) y una línea recta que no lo contiene, su plano común tiene la ecuación Las coordenadas del plano, (a0:a1:a2:a3), también se pueden expresar en términos de coordenadas Plücker duales como Debido a que la cuádrica de Klein pertenece a P5, contiene subespacios lineales de dimensiones uno y dos (pero no más altas), que se corresponden con las familias de uno y dos parámetros de líneas rectas en P3.

Si tres líneas rectas distintas y no paralelas son coplanares, entonces sus combinaciones lineales generan una familia de dos parámetros de líneas recras, todas pertenecientes al mismo plano, que se corresponde con un subespacio lineal bidimensional que pertenece a la cuádrica de Klein.

Si tres líneas rectas distintas y no coplanarias se intersecan en un punto, sus combinaciones lineales generan una familia de dos parámetros de líneas rectas que pasan a través del punto.

Esta familia también se corresponde con un subespacio lineal bidimensional que pertenece a la cuádrica de Klein.

Un superficie reglada es una familia de líneas rectas que no es necesariamente lineal.

Durante el siglo XIX se estudió intensivamente la «geometría de líneas».