Teorema de Laplace

Aplicado de forma sucesiva, permite llegar a matrices 3x3 (con lo que se puede aplicar la regla de Sarrus) o 2x2 (en el que el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria).Se puede optimizar los cálculos aplicando la regla de Chio y haciendo ceros lo que reduce el número de determinantes de rango inferior a calcular.Partiendo de una matriz cuadrada: A, de orden n, se llama menor complementario del elementoal determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j. Dada la matriz cuadrada de orden 5: el menor complementario del elemento: y el menor complementario del elemento: Se llama adjunto del elementosi i+j es par o el signo: (–) si i+j es impar.Dada la matriz cuadrada de orden 5: el adjunto del elemento: y el adjunto del elemento: Partiendo de una matriz cuadrada de grado n, según el teorema de Laplace el valor de su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos, así tomando una fila f cualesquiera el determinante es: Y tomando una columna c, será: Podemos concluir con una Función recursiva para el cálculo del determinante, sabiendo que el valor del determinante de una matriz de orden uno es el único elemento de esa matriz, y el de una matriz de orden superior a uno es la suma de cada uno de los elementos de una fila o columna por los Adjuntos a ese elemento, como en la función recursiva se emplea la misma función definida el cálculo lo haremos por Menor complementario, un ejemplo desarrollado por la primera fila sería: Partiendo de una matriz 3×3: Para calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila: Desarrollando los determinantes 2*2, tendremos: Eliminando los paréntesis, tenemos: Que podemos ordenar, para presentarlo en la forma usual de la Regla de Sarrus: El teorema de Laplace se utiliza para calcular las determinantes, que pueden tener muchas aplicaciones.Sin embargo para matrices de órdenes superiores no es práctico usarlo ya que su grado de complejidad esResulta más práctico convertir la matriz a triangular, con el método de Gauss por ejemplo y multiplicar la diagonal, ya que en ese caso la complejidad se reduce aPara el caso del producto vectorial, al ser el producto una determinante simbólica y de 3.er orden, se puede aplicar el método con facilidad y también en otros casos ilustrativos, por ejemplo de programación recursiva.Un caso concreto de la aplicación del Teorema de Laplace es el Producto vectorial, partiendo de dos vectores u y v: el producto vectorial de ambos es otro vector: Que se calcula con el determinante: Desarrollado por el Teorema de Laplace: