Formalización de la rotación en tres dimensiones
En geometría, existen varias formalizaciones para expresar una rotación en tres dimensiones como una transformación matemática.
En física, este concepto se aplica a la mecánica clásica, donde la cinemática rotacional (o angular) es la ciencia que describe cuantitativamente un movimiento puramente rotativo.
Un ejemplo donde se usa la representación de las rotaciones es en la visión artificial, donde un observador automático necesita rastrear un objetivo.
Si se considera un cuerpo rígido, asociado con tres vectores unitarios ortogonales fijados a su cuerpo (que representan los tres ejes del sistema de coordenadas locales del objeto).
Las formalizaciones de la rotación se centran en los movimientos propios (es decir, que preservan la orientación) del espacio euclídeo con un punto fijo, a los que se refiere una rotación.
También se pueden entender las rotaciones puras como aplicaciones lineales en un espacio vectorial dotado con una estructura euclídea, no como aplicaciones de puntos de un espacio afín correspondiente.
La tríada de vectores unitarios mencionada anteriormente, también se denomina una base.
Como el eje está normalizado, solo tiene dos grados de libertad.
Se puede expresar la rotación como un vector de rotación, o vector de Euler, un vector tridimensional no normalizado cuya dirección especifica el eje y cuya longitud es θ, El vector de rotación es útil en algunos contextos, ya que representa una rotación tridimensional con solo tres valores escalares (sus componentes), que representan los tres grados de libertad.
La matriz más externa rota las otras dos, dejando la segunda matriz de rotación sobre la línea de nodos y la tercera en un marco que se mueve con el cuerpo.
Se utilizan otras convenciones (por ejemplo, la matriz de rotación o los cuaterniones) para evitar este problema.
En aviación, la orientación de la aeronave generalmente se expresa mediante los ángulos de Tait-Bryan intrínsecos, siguiendo la convención z-y′-x″, que se denominan guiñada, cabeceo y alabeo (o también curso, elevación y tonel).
Los cuaterniones, que forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones, han demostrado ser muy útiles para representar rotaciones debido a varias ventajas sobre las otras notaciones mencionadas en este artículo.
Una definición alternativa utilizada, por ejemplo, en (Coutsias 1999) y (Schmidt 2001) define el término "escalar" como el primer elemento del cuaternión, con los otros elementos desplazados hacia abajo una posición.
En términos del eje de Euler, y del ángulo θ, los componentes de este versor se expresan de la siguiente manera: El análisis muestra que la parametrización utilizando cuaterniones obedece a la siguiente restricción: El último término (en esta definición) a menudo se llama el término escalar, que tiene su origen en los cuaterniones cuando se entienden como la extensión matemática de los números complejos, escrito como y donde {i, j, k} son los números hipercomplejos que satisfacen La multiplicación de cuaterniones, que se utiliza para especificar una rotación compuesta, se realiza de la misma manera que la multiplicación de números complejos, excepto que el orden de los elementos debe tenerse en cuenta, ya que la multiplicación no es conmutativa.
En notación matricial, se puede escribir la multiplicación de cuaterniones como Por lo tanto, combinar dos rotaciones consecutivas utilizando cuaterniones es tan simple como usar la matriz de rotación.
Los cuaterniones también reflejan el carácter espinorial de las rotaciones en tres dimensiones.
La aplicación del mismo procedimiento n veces, devolverá un objeto 2n enrollado al estado totalmente desenrrollado (o a 0 vueltas).
El proceso de desenrrollado también elimina cualquier giro generado por la rotación en las cuerdas/bandas en sí.
Se pueden usar modelos mecánicos simples en 3D para demostrar estos hechos.
) se pueden obtener de la siguiente manera: Téngase en cuenta que atan2(a, b) es equivalente a arctan a/b, donde también se debe tener en cuenta el cuadrante en el que se encuentra el punto (a, b) (véase arcotangente de dos parámetros).
La inexactitud numérica se puede reducir al evitar situaciones en las que el denominador está cerca de cero.
Por lo tanto, cuando r(t) gira, su punta se mueve describiendo una circunferencia, y la velocidad lineal de su punta es tangencial al círculo; es decir, siempre perpendicular a r(t).
En este caso específico, la relación entre el vector de velocidad lineal y el vector de velocidad angular es (véase movimiento circular y producto cruzado).
Este bivector describe el plano perpendicular al resultado del producto cruzado de los dos vectores.
Los bivectores en el álgebra geométrica tienen algunas propiedades inusuales en comparación con los vectores.
Este resultado se mantiene generalmente para todos los bivectores, y como resultado, el bivector desempeña un papel similar al de la unidad imaginaria.
El resultado es Sin embargo, en el espacio tridimensional, a menudo es más sencillo dejar la expresión como B̂ = iv̂, ya que i conmuta con todos los objetos en 3D y también se ajusta a −1.
Mientras que los rotores en álgebra geométrica funcionan casi idénticamente a los cuaterniones en tres dimensiones, el poder de este formalismo es su generalidad: este método es apropiado y válido en espacios con cualquier número de dimensiones.
y el enfoque del álgebra geométrica verifica este resultado: en 4D, hay seis bivectores linealmente independientes que pueden usarse como generadores de rotaciones.
