Los cuaterniones unitarios proporcionan una notación matemática para representar las orientaciones y las rotaciones de objetos en tres dimensiones.
Comparados con los ángulos de Euler, son más simples de componer y evitan el problema del bloqueo del cardán.
Los cuarteniones son útiles en aplicaciones de gráficos por computadora, robótica, navegación y mecánica orbital de satélites.
Se recuerda la versión geométrica del producto de dos cuaterniones,
son las partes imaginarias, también vistas como vectores del espacio tridimensional
Para permanecer en el espacio tridimensional, hace falta hacer desaparecer las partes reales.
Bien es sabido que el producto vectorial está relacionado con la rotación en el espacio.
Por lo tanto, a base de productos, debe ser posible expresar cualquier rotación tridimensional.
El objetivo es obtener una fórmula parecida a la expresión compleja de la rotación en el plano:
cuando se gira alrededor del origen, y
Por linealidad, nos damos cuenta que hace girar el plano
no tiene que enviar ni un punto del espacio usual
, cuerpo de los cuaterniones, miremos al producto por la derecha, por
lo que corresponde a la rotación inversa en el plano
m = f o h ( = h o f ) : q → i q ( − i )
Hemos obtenido por lo tanto una rotación alrededor de eje
El número que corresponde al medio ángulo es
y la función que realiza la rotación pedida es
Este raciocinio se generaliza a cualquier eje de rotación, y no solo a los tres ejes (O,i) (O, j) y (O, k).
q = x i + y j + z k
un punto (o un vector) del espacio, u un vector unitario del mismo espacio y θ un real.
Para obtener la rotación alrededor de un eje (c,u), donde c es un punto cualquiera del espacio, basta con componer la función anterior por dos translaciones:
Note que h es un cuaternión unitario, como en el caso de los complejos.
La fórmula resulta algo más complicada que en el plano complejo porque trabajamos en cuatro dimensiones con los cuaterniones pero queremos permanecer en el espacio usual de tres dimensiones.
Una simple multiplicación, a la izquierda o a la derecha, daría dos rotaciones simultáneas en dos planos perpendiculares (ortogonales) en el espacio tetradimensional.
Consideremos la rotación alrededor del eje (O, i + j + k), con un ángulo de 120º o sea 2π/3 radianes.
Nos proponemos calcular la imagen del vector j. Puesto que el vector i + j + k no es unitario, lo dividiremos por su norma, con lo que obtenemos el siguiente vector unitario:
El vector (o punto correspondiente) j será enviado en hjh~.
Del mismo modo hallaríamos que hkh~ = i e hih~ = j, lo que da la expresión analítica de la rotación:
r ( x i + y j + z k ) = z i + x j + y k