Notación axial-angular

Solo se necesitan dos números, no tres, para definir la dirección de un vector unitario e ubicado en el origen, porque e tiene necesariamente módulo 1, y expresadas dos coordenadas, se puede deducir la tercera (dado queTambién es posible utilizar los dos ángulos que definen la elevación y el azimut de e, suficientes para ubicarlo en cualquier marco de coordenadas cartesianas en particular.La rotación se produce en el sentido prefijado por la regla de la mano derecha.Estos hechos deben tenerse en cuenta al invertir la aplicación exponencial, es decir, al encontrar un vector de rotación que corresponda a una matriz de rotación dada.Si gira 90° a la izquierda, rotará π/2 radianes con respecto al eje z. Viendo la notación axial-angular como un par ordenado, este giro queda representado por El ejemplo anterior se puede representar como un vector de rotación con una magnitud de π/2 apuntando en la dirección z, La notación axial-angular es conveniente cuando se trata de mecánica del sólido rígido.Es útil tanto para caracterizar movimientos de rotación, como para abordar el estudio del movimiento del sólido rígido mediante transformaciones homogéneas y giros.En otras palabras, proporciona un algoritmo para calcular la aplicación exponencial deAquí el vector unitario se denota ω en lugar de e.[1]​ Debido a la existencia de la aplicación exponencial mencionada anteriormente, el vector unitario ω que representa el eje de rotación y el ángulo θ, a veces se denominan coordenadas exponenciales de la matriz de rotación R. Sea K, que denota la matriz 3 × 3 definida para efectuar el producto cruzado con el eje de rotación ω: K(v) = ω × v para todos los vectores v.Para pequeñas rotaciones, el cálculo anterior de θ puede ser numéricamente impreciso, ya que la derivada de la función (arc cos) tiende a infinito cuando θ → 0.En ese caso, los términos fuera del eje proporcionarán una mejor información sobre θ ya que, para ángulos pequeños, R ≈ I + θK (esto se debe a que estos son los dos primeros términos de la serie de Taylor para exp(θK)).Esta formulación también tiene problemas numéricos en θ = π, donde los términos fuera del eje no proporcionan información sobre el eje de rotación (que todavía se define hasta una ambigüedad de signo).La siguiente expresión transforma las coordenadas de la expresión axial-angular a versores (cuaterniones): Dado un versor q = s + x representado mediante su escalar s y el vector x, las coordenadas axiales-angulares se pueden extraer utilizando el procedimiento siguiente: Una expresión más estable numéricamente del ángulo de rotación utiliza la función arcotangente de dos parámetros: donde | x | es la norma vectorial del 3-vector x.