En álgebra multilineal, un multivector, a veces también denominado número de Clifford o multor,[1] es un elemento del álgebra exterior Λ(V)) de un espacio vectorial V.
Esta álgebra es graduada, asociativa y alterna, y consiste en combinaciones lineales de k-vectores simples[2] (también conocidos como k-vectores descomponibles[3] o k-cuchillas) de la forma donde
[4] En geometría diferencial, un k-vector es un vector en el álgebra exterior del espacio vectorial tangente; es decir, es un tensor antisimétrico obtenido tomando combinaciones lineales del producto exterior de k vectores tangentes, para algún número entero k ≥ 0.
El grado máximo de un multivector es la dimensión del espacio vectorial V.
[2] El k-vector obtenido del producto exterior de k vectores separados en un espacio n-dimensional tiene componentes que definen los (k − 1)-volúmenes proyectados de los k-paralelotopos abarcados por los vectores.
Es fácil comprobar que la magnitud de un trivector en cuatro dimensiones mide el volumen del paralelepípedo abarcado por estos vectores.
Las propiedades de los multivectores se pueden ver considerando el espacio vectorial bidimensional V= R2.
La relación entre la magnitud de un multivector y el área o volumen abarcado por los vectores es una característica importante en todas las dimensiones.
Además, la versión funcional lineal de un multivector que calcula este volumen se conoce como forma diferencial.
Se pueden ver más características de los multivectores considerando el espacio vectorial tridimensional V= R3.
En este caso, sean los vectores de una base e1, e2 y e3, por lo que u, v y w están dados por y el bivector u ∧ v se calcula como Los componentes de este bivector son los mismos que los componentes del producto vectorial.
Los puntos en la componente afín E: z= 1 del plano proyectivo tienen coordenadas x= (x, y, 1).
El conjunto de puntos x= (x, y, 1) en la recta que pasa por p y q es la intersección del plano definido por p ∧ q con el plano E: z= 1.
Estos puntos satisfacen que x ∧ p ∧ q= 0, es decir, que se simplifica a la ecuación de una recta Esta ecuación se satisface con los puntos x= αp + βq para valores reales de
Debido a que tres coordenadas homogéneas definen tanto un punto como una línea recta, se dice que la geometría de los puntos es dual a la geometría de las rectas en el plano proyectivo.
Sea el hiperplano tridimensional, H: w= 1, el componente afín del espacio proyectivo definido por los puntos x= (x, y, z, 1).
Un plano con la componente afín H: w= 1 es el conjunto de puntos x= (x, y, z, 1) en la intersección de H con el espacio tridimensional definido por p ∧ q ∧ r. Estos puntos satisfacen la condición x ∧ p ∧ q ∧ r= 0, es decir, que se simplifica a la ecuación de un plano Esta ecuación se satisface con los puntos x= αp + βq + γr para valores reales de α, ß y γ.
Debido a que cuatro coordenadas homogéneas definen tanto un punto como un plano en el espacio proyectivo, la geometría de los puntos es dual a la geometría de los planos.
Una línea recta como la unión de dos puntos: En el espacio proyectivo, la recta λ que pasa por dos puntos p y q puede verse como la intersección del espacio afín H: w= 1 con el plano x= αp + βq en R4.
W. K. Clifford combinó multivectores con el espacio prehilbertiano definido en el espacio vectorial, para obtener una construcción general para números hipercomplejos que incluye los números complejos habituales y los cuaterniones de Hamilton.
[11][12] El término k-cuchilla (traducción del original en inglés k-blade) se introdujo en la obra Clifford Algebra to Geometric Calculus de 1984.
[13] Los multivectores desempeñan un papel central en la formulación matemática de la física conocida como álgebra geométrica.
Según David Hestenes, En 2003, C. Doran y A. Lasenby utilizaron el término blade para un multivector que puede escribirse como el producto exterior de [un escalar y] un conjunto de vectores.
Si un elemento dado es homogéneo de grado k, entonces es un k-vector, pero no necesariamente una k-cuchilla.
Tal elemento es una k-cuchilla cuando puede expresarse como el producto exterior de k vectores.
Un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de 4 dimensiones ilustra el punto con un ejemplo: la suma de dos cuchillas cualesquiera, una tomada del plano XY y la otra tomada del plano ZW, formará un 2-vector que no es una 2-cuchilla.
En presencia de una forma de volumen (como cuando se da un espacio prehilbertiano y una orientación), los pseudovectores y pseudoescalares se pueden identificar con vectores y escalares, lo cual es una rutina en el cálculo vectorial, pero sin una forma de volumen, esto no se puede hacer sin realizar una elección arbitraria.
Un bivector es un elemento del producto tensorial antisimétrico de un espacio tangente consigo mismo.
Ahora, se debe definir una aplicación G : Λ2V × Λ2V → R insistiendo en que donde
Los bivectores desempeñan numerosas funciones importantes en física, como por ejemplo, en la clasificación de campos electromagnéticos.