Álgebra multilineal
[1] El álgebra multilineal extiende los principios del álgebra lineal a dimensiones superiores, tratando con objetos como tensores, mapas multilineales y productos exteriores.
Su aplicación abarca varios campos, proporcionando herramientas esenciales para resolver problemas complejos en disciplinas como la física, la informática, la economía y el aprendizaje automático.
Los tensores, que son generalizaciones de escalares y vectores, se utilizan en la teoría general de la relatividad para describir la curvatura del espacio-tiempo.
Además, en la mecánica cuántica, el álgebra multilineal es esencial para tratar con operadores que actúan sobre estados cuánticos de múltiples partículas y formular problemas multidimensionales.
[5] Las redes neuronales convolucionales (CNN), por ejemplo, dependen en gran medida de las operaciones con tensores para procesar y reconocer datos de imágenes.
[6] Además, el álgebra multilineal es clave en la informática gráfica, donde se realizan transformaciones y proyecciones en el espacio 3D utilizando matrices y tensores.
[8] En biología de sistemas, estas técnicas ayudan a modelar y comprender redes bioquímicas complejas.
Si bien muchos conceptos y aplicaciones teóricas involucran vectores simples, matemáticos como Hermann Grassmann consideraron estructuras que involucran pares, tripletes y multivectores que generalizan vectores.
[9] El determinante se puede formular de forma abstracta utilizando las estructuras del álgebra multilineal.
El término «tensor» describe elementos dentro del espacio multilineal debido a su estructura añadida.
A pesar de los primeros trabajos de Grassmann en 1844 con su Ausdehnungslehre, que también se volvió a publicar en 1862, al principio el tema no se comprendió ampliamente, ya que incluso el álgebra lineal ordinaria planteaba muchos retos en aquella época.
Los conceptos del álgebra multilineal encuentran aplicaciones en ciertos estudios de cálculo multivariante y variedades, en particular en lo referente a la matriz jacobiana.
[10] Tras Grassmann, los desarrollos en álgebra multilineal fueron realizados por Victor Schlegel en 1872 con la publicación de la primera parte de su System der Raumlehre [11] y por Elwin Bruno Christoffel.
Notablemente, avances significativos vinieron a través del trabajo de Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita,[12] particularmente en la forma de cálculo diferencial absoluto dentro del álgebra multilineal.
Marcel Grossmann y Michele Besso introdujeron esta forma a Albert Einstein, y en 1915, la publicación de Einstein sobre relatividad general, explicando la precesión del perihelio de Mercurio, estableció el álgebra multilineal y los tensores como importantes herramientas matemáticas en física.
En 1958, Nicolas Bourbaki incluyó un capítulo sobre álgebra multilineal titulado «“”Algèbre Multilinéaire“”» en su serie Éléments de mathématique, concretamente dentro del libro de álgebra.
Todo lo anterior sólo ha sido considerando que el espacio vectorial es de dinensión finita igual a n. Teniendo dos espacios vectoriales V, W, con respectivas bases
Y por lo tanto si un objeto X que vive en (pertenece a)
Esta definición es absolutamente abstracta, pero desde el punto de vista algebraico no hay ningún problema explorar todas las posibilidades del producto tensorial.
Todos ellos de uso cotidiano en la geometría diferencial, geometría algebraica, álgebra conmutativa, relatividad y cuántica, teorías de campo, QFT, TQFT y otras.
Los elementos de aquí se ven como combinaciones lineales bi-indexadas
Hacia mediados del siglo XX, los tensores se reformularon de forma más abstracta.
El tratado Álgebra multilineal del grupo Bourbaki fue especialmente influyente; de hecho, el término álgebra multilineal puede haberse originado allí.
Los fenómenos topológicos eran lo suficientemente sutiles como para necesitar mejores conceptos fundacionales; técnicamente hablando, había que definir los funtores Tor.
Dado que esto conduce a un tratamiento mucho más limpio, probablemente no había vuelta atrás en términos puramente matemáticos.
(Estrictamente, se invocó el enfoque de propiedades universales; éste es algo más general que la teoría de categorías, y la relación entre ambas como vías alternativas también se estaba aclarando, al mismo tiempo).
De hecho, lo que se logró es esencialmente una explicación de por qué los espacios tensoriales son las construcciones necesarias para convertir problemas multilineales en problemas lineales.
No hay ninguna intuición geométrica en este enfoque puramente algebraico.
Al reexpresar los problemas en términos de álgebra multilineal, existe una "mejor solución" clara y bien definida: las restricciones que ejerce la solución son exactamente las que se necesitan en la práctica.
En general, no es necesario invocar ninguna construcción ad hoc, idea geométrica o recurso a sistemas de coordenadas.
