Tensor antisimétrico

En matemáticas, un tensor antisimétrico o antisimétrico con respecto a un subconjunto de índices es un tensor que alterna signo (+/-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto.[1]​[2]​ Cuando un tensor es antisimétrico respecto a todos sus índices se llama tensor completamente antisimétrico o simplemente tensor anstisimétrico.Por ejemplo: Son condiciones que satisface un tensor antisimétrico con respecto a sus primeros tres índices.Es importante destacar que la condición de antisimetría requiere que en el subconjunto de índices respecto a los que existe antisimetría, todos los índices sean covariantes o contravariantes, ya que los tensores subconjuntos mixtos están excluidos de la condición de antisimetría.Un campo tensorial covariante completamente antisimétrico de ordenpuede denominarse forma diferencial, y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarsetiene la propiedad de que la contracción con un tensores idénticamente 0: Para un tensor general U con componentesi j k …y un par de índicesU tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como: Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices.Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como eni j k …( i j ) k …[ i j ] k …Una notación abreviada para la antisimetrización se denota con un par de corchetes.Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M,y para un tensor covariante de orden 3 T[ a b c ]a b ca c bEn 2 y 3 dimensiones cualesquiera, se pueden escribir comod e fd e fes el delta de Kronecker generalizado, y utilizamos la notación de Einstein para sumar sobre índices similares.De forma más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre índicesEn general, todo tensor de rango 2 puede descomponerse en un par simétrico y antisimétrico como:Esta descomposición no es en general cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.Los tensores totalmente antisimétricos incluyen: