Sobre cuerpos de característica cero, el espacio vectorial graduado de todos los tensores simétricos se puede identificar naturalmente con el álgebra simétrica en V.
Un concepto relacionado es el de tensor antisimétrico o producto exterior.
Los tensores simétricos se utilizan ampliamente en ingeniería, física y matemáticas.
Sea V un espacio vectorial y un tensor de orden k. Entonces T es un tensor simétrico si para las aplicaciones de trenzado asociadas a cada permutación σ en los símbolos {1,2,...,k} (o equivalentemente, para cada transposición en estos símbolos).
(las componentes del tensor en la base) que son simétricos con respecto a los índices.
Es en sí mismo un espacio vectorial, y si V tiene dimensión N, entonces la dimensión de Simk(V) es el coeficiente binomial A partir de aquí se construye Sim(V) como la suma directa de Simk(V) para k = 0,1,2,... Hay muchos ejemplos de tensores simétricos.
Muchas propiedades mecánicas de los materiales y de los campos utilizados en física e ingeniería se pueden representar como campos tensoriales simétricos; como por ejemplo la tensión mecánica, la deformación y la conductividad anisotrópica.
Además, en la difusión MRI se suelen utilizar tensores simétricos para describir la difusión en el cerebro u otras partes del cuerpo.
Los elipsoides son ejemplos de variedades algebraicas; y así, para el rango general, los tensores simétricos, en forma de polinomios homogéneos, se utilizan para definir las variedades proyectivas y, a menudo, se estudian como tales.
En términos de una base, y empleando el convenio de suma de Einstein, si entonces Los componentes del tensor que aparecen a la derecha a menudo se denotan por con paréntesis () alrededor de los índices que se simetrizan.
Los corchetes [] se utilizan para indicar antisimetrización.
Si T es un tensor simple, dado como un producto tensorial puro entonces la parte simétrica de T es el producto simétrico de los factores: En general, se puede convertir Sim(V) en álgebra definiendo el producto conmutativo y asociativo ⊙.
[2] Dados dos tensores T1 ∈ Simk1(V) y T2 ∈ Simk2(V), se usa el operador de simetrización para definir: Se puede verificar (como lo hacen Kostrikin y Manin[2]) que el producto resultante es de hecho conmutativo y asociativo.
En algunos casos se utiliza una notación exponencial: Donde v es un vector.
Nuevamente, en algunos casos se omite el ⊙: En analogía con la teoría de matrices simétricas, un tensor simétrico (real) de orden 2 puede "diagonalizarse".
Más precisamente, para cualquier tensor T ∈ Sim2(V), hay un número entero r, vectores unitarios distintos de cero v1,.. .,vr ∈ V y pesos λ1,...,λr tales que Para tensores simétricos de orden arbitrario k, también son posibles las descomposiciones El número mínimo r para el cual tal descomposición es posible es el rango simétrico de T.[3] Esta descomposición mínima se llama descomposición de Waring; y es una forma simétrica de la descomposición de rangos tensoriales.
Para los tensores de segundo orden, esto corresponde al rango de la matriz que representa el tensor en cualquier base, y es bien sabido que el rango máximo es igual a la dimensión del espacio vectorial subyacente.
Sin embargo, para órdenes superiores esto no tiene por qué ser así: el rango puede ser mayor que el número de dimensiones en el nivel subyacente del espacio vectorial.