Suma directa de módulos

de objetos en una categoría, junto a una familia de morfismos) tal que para cualquier objetoy una familia de morfismos, existe un único morfismotal queNo hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denotauna familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elementoR por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada: Dados dos subespacios vectorialesde un espacio vectorial, podemos definir la suma directa interna de, y diremos queestán en suma directa, si, y sólo si, para todo elementoexiste una única parejatal queEn este caso, escribiremosEn este caso se puede decir también que la sumaDicho de otro modo, la suma de dos subespacios vectorialeses directa si la descomposición de todo elemento dey un elemento deEsta noción se puede generalizar a familias finitas de subespacios deestán en suma directa si, y sólo si, para todo elemento de la sumatal queEn dimensión finita, tenemos la siguiente caracterización de que una familia de subespacios estén en suma directa:∀ i ∈ { 1 , … , r }es base dees base de{\displaystyle F:=F_{1}+\dots +F_{r}}En dimensión cualquiera, sólo son ciertos aquellos apartados donde no se utiliza que la dimensión sea finita para construir bases o hablar de la fórmula de Grassmann, es decir, en dimensión arbitraria, tenemos la siguiente caracterización:Los siguientes resultados relacionados con la suma directa son clásicos: