de objetos en una categoría
, junto a una familia de morfismos
) tal que para cualquier objeto
y una familia de morfismos
, existe un único morfismo
No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota
una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento
R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada: Dados dos subespacios vectoriales
de un espacio vectorial
, podemos definir la suma directa interna de
, y diremos que
están en suma directa, si, y sólo si, para todo elemento
existe una única pareja
En este caso, escribiremos
En este caso se puede decir también que la suma
Dicho de otro modo, la suma de dos subespacios vectoriales
es directa si la descomposición de todo elemento de
y un elemento de
Esta noción se puede generalizar a familias finitas de subespacios de
están en suma directa si, y sólo si, para todo elemento de la suma
En dimensión finita, tenemos la siguiente caracterización de que una familia de subespacios estén en suma directa:
∀ i ∈ { 1 , … , r }
{\displaystyle (2)\quad u_{1}+\dots +u_{r}=0\Rightarrow u_{i}=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,r\}}
{\displaystyle F_{i}\Rightarrow B_{F_{1}}\cup \dots \cup B_{F_{r}}}
{\displaystyle F:=F_{1}+\dots +F_{r}}
∀ i ∈ { 1 , … , r }
j ≠ i
En dimensión cualquiera, sólo son ciertos aquellos apartados donde no se utiliza que la dimensión sea finita para construir bases o hablar de la fórmula de Grassmann, es decir, en dimensión arbitraria, tenemos la siguiente caracterización:
j ≠ i
Los siguientes resultados relacionados con la suma directa son clásicos: