En matemáticas y, en particular, en álgebra lineal, la diagonalización es un proceso que permite simplificar la descripción de ciertos endomorfismos de un espacio vectorial.
Consiste en encontrar una base del espacio vectorial formada por vectores propios, si existe alguna.
El proceso se reduce, pues, a una reducción máxima del endomorfismo, es decir, a una descomposición del espacio vectorial en suma directa de subespacios vectoriales invariantes por el endomorfismo.
Restringido sobre cada uno de ellos, el endomorfismo se reduce a una homotecia.
Por tanto, la diagonalización permite una mejor visualización geométrico de la actuación del endomorfismo sobre el espacio vectorial.
Además, la diagonalización permite un cálculo rápido y simple de potencias y exponenciales de matrices (entendidas como matrices de un endomorfismo), lo que permite expresar numéricamente ciertos sistemas dinámicos lineales, obtenidos por iteración o por ecuaciones diferenciales.
Supongamos que queremos estudiar, por ejemplo, el endomorfismo
Así, el problema se vería reducido a calcular potencias de números reales, algo mucho más sencillo.
Tomemos por ejemplo la primera condición y denotemos
forma parte de una base, no puede ser nulo, de forma que esto quiere decir que el sistema homogéneo
Por el teorema de Rouché–Frobenius, esto quiere decir que
, al que llamaremos polinomio característico de
Por tanto, el primer paso es encontrar las raíces de
a las que llamaremos valores propios (o VAPS) de
como soluciones no triviales de los sistemas
los llamaremos vectores propios (o VEPS) de
Este método es válido en general para cualquier dimensión.
Es decir, para diagonalizar una matriz los pasos a seguir son: (1) Encontrar los valores propios: las raíces de
(3) Comprobar que el conjunto de vectores obtenidos es, efectivamente una base.
Definimos la multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio
es su multiplicidad como raíz del polinomio característico.
polinomio que podría, o no, tener a
Veamos ahora el teorema que caracteriza a los endomorfismos diagonalizables y nos permitirá asegurar que no podemos diagonalizar
antes de acabar el algoritmo presentado en el primer apartado del artículo.
no es diagonalizable sin acabar en dos casos: si el polinomio característico no descompone o si al calcular los subespacios de vectores propios, encontramos alguno cuya dimensión no coincida con la multiplicidad algebraica del VAP correspondiente.
Además, si no hemos parado en ninguno de los dos casos anteriores, el teorema afirma que
es diagonalizable directamente, es decir, no hace falta el tercer paso, donde comprobábamos que el conjunto de VEPs obtenidos eran efectivamente una base.
Así, podríamos actualizar el algoritmo como sigue: (1) Encontrar los valores propios: las raíces de
Si la dimensión de este núcleo no es igual a la multiplidad del VAP correspondiente como raíz del polinomio característico,
(en inglés) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, 2010