Lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché (quien lo enunció), y del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius (quien fue uno de los muchos matemáticos que lo demostraron).
Así, en otros idiomas[1] recibe otros nombres, como el teorema de Rouché-Capelli, el teorema de Rouché-Fontené, el teorema de Kronecker-Capelli, etc.
El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condición necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes y la matriz ampliada por los términos independientes posean el mismo rango.
Por lo demás, el sistema constituido será determinado si su rango coincide con el número de incógnitas o será indeterminado si posee un valor menor a tal número.
Un sistema lineal de ecuaciones: Puede ser descrito mediante una matriz: dicha matriz asociada al sistema ; está obtenida por la yuxtaposición de la matriz de los coeficientes y una posterior columna llamada columna de términos notorios.
son llamadas respectivamente incompleta (o de los coeficientes) y completa (o ampliada).
El enunciado del teorema de Rouché-Frobenius es el siguiente: Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es igual al rango de la matriz incompleta.
Entonces, si existen soluciones, estas forman una variedad lineal de
es infinito tenemos: El sistema puede ser descrito de un modo más restringido, introduciendo el vector de las coordenadas y utilizando el producto matricial, del siguiente modo: En otros términos,
mediante la aplicación lineal Entonces el sistema admite soluciones si y solo si
, en otros términos si está en la imagen de
es generada desde los vectores dados a partir de las columnas
es en la imagen si y solo si el span de las columnas
, esto es, si y sólo si el span de las columnas
Esta última afirmación es equivalente a pedir que las dos matrices posean el mismo rango.
, toda otra solución se escribe como
es una solución del sistema lineal homogéneo asociado: En efecto: Las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado son simplemente el núcleo de la aplicación
Por el teorema rango-nulidad, la dimensión del núcleo de
Se puede ver la demostración de esto en el artículo sobre el rango.
Entonces el espacio de las soluciones, obtenido trasladando el núcleo con el vector
En particular, la dimensión de esta variedad es
Esto nos permite afirmar que si el cuerpo
Posteriormente, publicó en 1880 una versión más completa del teorema.
Después de la publicación, Georges Fontené publicó una nota en los Nouvelles Annales de Mathématiques reclamando haber sido el primero en demostrar el teorema.
Más tarde, Frobenius en su artículo Zur Theorie der linearen Gleichungen de 1905 publicado en Crelle's Journal acreditó la demostración a Rouché y Fontené.
En lengua española se conoce al teorema como teorema de Rouché-Frobenius debido al matemático hispano-argentino Julio Rey Pastor que se refirió al teorema con este nombre.