Rango (álgebra lineal)

En álgebra lineal, se define el rango de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales como la dimensión del conjunto imagen.Frecuentemente la noción se aplica a aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita, lo cual da lugar a la noción de rango de una matriz.El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes.También la dimensión del espacio fila determina el rango.será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entreEl rango es una propiedad no sólo de las matrices sino extensible a las aplicaciones lineales, de las cuales las matrices son una representación una vez fijada una base.Dada aplicación o transformación lineal:se define el rango simplemente como la dimensión del conjunto imagen de la aplicación:Una propiedad muy importante del rango así definido y el rango de matrices definido anteriormente, es que ambos coinciden.Es decir, dada una base arbitraria la aplicación lineal se puede representar mediante esa base en forma de matriz resultando el rango de esa matriz idéntico al rango de la aplicación lineal que representa.Para establecer más claramente la relación entre el rango de una aplicación lineal y una matriz que represente dicha aplicación lineal, deben fijarse dos bases en cada uno de los dos espaciosSiendo: Como se dijo anteriormente, el rango dese calcula el rango como el máximo enteroDada una aplicación lineal su rango puede calcularse fácilmente considerando una base cualquiera y determinando el rango de la matriz que representa la aplicación en dicha base, ya que el número obtenido no dependerá de la elección de la base.La prueba es un resultado importante del teorema fundamental del álgebra lineal y es válida para cualquier cuerpo:[1]​ SeaPónganse estas como columnas de una matrizEsto significa que hay una matriz-ésima está formada a partir de los coeficientes que dan laforman un sistema generador del espacio fila deEsto prueba que el rango fila dees menor o igual que el rango columna deEste resultado puede ser aplicado a cualquier matriz, así que aplíquese a la matriz transpuesta de, esto establece la desigualdad inversa y se obtiene la igualdad del rango fila y el rango columna deEn ese caso, ésta tiene exactamente una solución si el rango equivale al número de incógnitas; en otro caso, la solución general tienees la diferencia entre el número de incógnitas y el rango.es invertible (tiene inversa) si y sólo si su rango es máximo, es decir, igual aEn teoría de control, el rango de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable.En análisis funcional la noción de rango se puede aplicar a aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión infinita.En muchas aplicaciones como la mecánica cuántica, el espacio de dimensión infinita suele ser un espacio de Hilbert separable.El rango de operador definido sobre un espacio de Hilbert usualmente será también infinito, aunque el operador es acotado cuando este rango es finito el operador resulta ser un operador compacto, con propiedades análogas a las aplicaciones lineales sobre espacios de dimensión finita.