Teorema de Rouché

El teorema de Rouché, que lleva el nombre de Eugène Rouché, establece que para dos funciones complejas f y g, con valores holomórficos cualesquiera dentro de una región, donde cada cero se cuenta tantas veces como su multiplicidad.Este teorema asume que el contornoDada una función analítica, se escribe como la suma de dos partes, una de las cuales es más simple y crece más rápido que (y por lo tanto, domina a) la otra parte.Entonces se pueden ubicar los ceros mirando solo la parte dominante., la parte dominante, tiene cinco ceros en el disco.Es posible proporcionar una explicación informal del teorema de Rouché.Sea C una curva simple cerrada (es decir, que no se interseca a sí misma).Si f y g son ambas holomórficas en el interior de C, entonces h también debe ser holomórfica en el interior de C. Entonces, con las condiciones impuestas anteriormente, el teorema de Rouché en su forma original (y no simétrica) dice que Obsérvese que la condición |f(z)| > |h(z) − f(z)| significa que para cualquier z, la distancia desde f(z) al origen es mayor que la longitud de h(z) − f(z), que en la siguiente imagen significa que para cada punto de la curva azul, el segmento que lo une al origen es más grande que el segmento verde asociado a él.De manera informal se puede decir que la curva azul f(z) siempre está más cerca de la curva roja h(z) que del origen.El párrafo anterior muestra que h(z) debe rodear el origen exactamente tantas veces como f(z).El índice de ambas curvas alrededor de cero es, por lo tanto, el mismo, por lo que, según principio del argumento, f(z) y h(z) deben tener el mismo número de ceros dentro de C. Una conocida manera informal de resumir este argumento es la siguiente: si una persona paseara a un perro con una correa alrededor de un árbol, de modo que la distancia entre la persona y el árbol sea siempre mayor que la longitud de la correa, entonces, la persona y el perro rodean el árbol el mismo número de veces.El teorema de Rouché se puede utilizar para obtener sus posiciones con más precisión.Sea El teorema de Rouché afirma que el polinomio tiene exactamente un cero dentro del discoestá claramente fuera del disco, se concluye que el cero esEl teorema de Rouché también se puede utilizar para dar una breve demostración del teorema fundamental del álgebra.), del teorema de Rouché se deduce quetambién tiene el mismo número de ceros dentro del disco.Una ventaja de esta demostración sobre las demás es que muestra no solo que un polinomio debe tener un cero, sino que el número de sus ceros es igual a su grado (contando, como es habitual, la multiplicidad).Theodor Estermann ya conocía una versión más fuerte del teorema de Rouché en 1962.tienen el mismo número de raíces (contando multiplicidad) en, si la desigualdad estricta se mantiene en el límiteLa versión original del teorema de Rouché se sigue de esta versión simétrica aplicada a las funcionesLa declaración se puede entender intuitivamente de la siguiente manera: Al considerarsiempre se cumple según la desigualdad triangular, esto equivale a decir quenunca apuntan en la misma dirección que los círculos dese deben enrollar alrededor del origen la misma cantidad de veces.una curva cerrada simple cuya imagen es el límiteLa hipótesis implica que f no tiene raíces enalrededor del origen; de manera similar para g. La hipótesis asegura que g(z) no es un múltiplo real negativo de f(z) para cualquier z = C(x), por lo que 0 no se encuentra en el segmento de línea que une f(C(x)) con g(C(x)), y es una homotopía entre las curvas