Teorema de Sturm
Es útil para hallar los ceros de una función polinómica en un determinado intervalo.
(Esto es, básicamente, el algoritmo de Euclides)
en la que se omiten todos los ceros.
no se anula, entonces el número de raíces distintas en el intervalo
(las raíces múltiples se cuentan solo una vez) es igual a
Supongamos que queremos buscar el número de raíces en un rango, del polinomio
Entonces Usando la división polinomial para dividir p0 entre p1 tenemos como resto
, y multiplicando ese resto por −1 obtenemos
Luego dividiendo p1 por p2 y multiplicando el resto por −1, obtenemos
Entonces la cadena completa de polinomios de Sturm es: Para encontrar el número de raíces entre −∞ y ∞, primero se evalúa p0, p1, p2, p3, y p4 en −∞ y se obtiene la secuencia de signos resultantes: + − + + −, que tiene tres cambios de signo (+ a −, luego − a +, luego + a −).
El mismo procedimiento para ∞ da como resultado la secuencia de signos + + + − −, que contiene solamente un cambio de signo.
Entonces, el número de raíces del polinomio original entre −∞ y ∞ es 3 − 1 = 2.
En casos más complicados donde no existe un conocimiento avanzado sobre las raíces porque la factorización es imposible o impracticable, se puede experimentar con varios límites finitos, encontrando así la localización de las raíces.
En primer lugar hay que dejar claro que, dada una sucesión de números reales en la que previamente se ha prescindido de posibles elementos nulos, se dice que dos términos consecutivos presentan variación cuando son de signos opuestos.
Establecido este concepto, considérese una ecuación
que se supondrá que admite únicamente raíces simples (lo que no restringe la generalidad, pues toda ecuación con raíces múltiples puede reducirse a otra que tiene las mismas raíces, pero simples.
Por ello, al dividir todos los polinomios por
Llamamos a los términos de dicha sucesión:
Lo cual es absurdo pues debería ser constante distinta de cero.
no se anula ningún polinomio de la cadena, por tanto no hay variaciones en el signo, así pues,
siempre hay un cambio de signo, por lo que
Para valores a la derecha de
, las variaciones de signo no cambia, esto es,
Por tanto será raíz simple de
tendrán el mismo signo en un intervalo de esta nueva raíz
Esto quiere decir que si para un intervalo (bien a la izquierda o a la derecha de
A un lado de dicha raíz habrá variación nula de signo, y al otro lado habrá un cambio (variación) de signo.
Lo cual quiere decir ahora que
no aumenta ni disminuye el número de ellas, se concluye que las variaciones de la sucesión de Sturm que se pierden (o ganan) cuando
son tantas como las raíces de la ecuación
