Propiedades de las raíces polinómicas
Este artículo se refiere a las propiedades geométricas de estos puntos en el plano complejo que se pueden deducir del grado y de los coeficientes del polinomio.
Para raíces simples, esto se deduce directamente del teorema de la función implícita.
Esto se puede extender a la conjugación algebraica: las raíces de un polinomio con coeficientes racionales son conjugadas (es decir, invariantes) bajo la acción del grupo de Galois del polinomio.
La mayoría de los límites son mayores o iguales a uno y, por lo tanto, no son eficientes para un polinomio que solo tenga raíces de valores absolutos inferiores a uno.
Sin embargo, tales polinomios son muy raros, como se muestra a continuación.
Por lo tanto, en el resto del artículo no se darán límites inferiores explícitamente.
Joseph-Louis Lagrange y Augustin Louis Cauchy fueron los primeros en proporcionar límites superiores para todas las raíces complejas.
Estas cotas superiores no son invariantes respecto a la escala.
Otro límite, originalmente dado por Lagrange, pero atribuido a Zassenhaus por Donald Knuth, es:[4] Esta acotación es invariante ante la escala.
Lagrange mejoró esta última acotación en la suma de los dos valores más grandes (que pueden ser iguales) en la secuencia:[4] También proporcionó el resultado relacionado donde
Se han dado muchos otros límites superiores para las magnitudes de todas las raíces.
[5] La acotación de Fujiwara es:[6] mejora ligeramente la cota anterior, dividiendo por dos el último argumento del máximo.
Sun y Hsieh obtuvieron otra mejora en la cota de Cauchy.
Sun y Hsieh demostraron que los límites superiores 1 + d1 y 1 + d2 se pueden obtener a partir de las siguientes ecuaciones: d2 es la raíz positiva de la ecuación cúbica También señalaron que d2 ≤ d1.
Esta desigualdad, descubierta en 1905 por Edmund Landau,[9] ha sido olvidada y redescubierta al menos tres veces durante el siglo XX.
Más precisamente, si existen un número real positivo R y un entero 0 ≤ k ≤ n tales que entonces hay exactamente k raíces, contadas con multiplicidad, de valor absoluto menor que R. Según el teorema de Rouché, esto implica directamente que
Por lo tanto, son más nítidos que todos los límites dados en las secciones anteriores.
, hay exactamente k – h raíces z tales que
de manera que haya exactamente una raíz con un valor absoluto en el intervalo abierto
Proporciona discos centrados en los puntos de interpolación y cada uno contiene una raíz del polinomio; consúltese el método de Durand-Kerner para obtener más detalles.
Pero en algunos contextos, son útiles los límites más estrictos de las raíces reales.
Esto ha llevado a establecer nuevas acotaciones más estrictas que los límites generales de todas las raíces.
Otros límites se aplican solo a polinomios cuyas raíces son reales (véase más adelante).
Para dar una cota superior de las raíces positivas, se puede suponer que
Posteriormente se han desarrollado otros límites, principalmente para servir como base del método de fracciones continuas para el aislamiento de raíces reales.
Esto permite límites inferiores para la separación de raíces que son independientes del discriminante.
En particular, las raíces reales se encuentran principalmente cerca de ±1 y, además, su número esperado es, en gran medida, menor que el logaritmo natural del grado.
y De ello se deduce que el número esperado de raíces reales es, utilizando la notación gran O donde C es una constante aproximadamente igual a 0,6 257 358 072.
Kac, Erdös y otros demostraron que estos resultados son insensibles a la distribución de los coeficientes, si son independientes y a si tienen la misma distribución con media cero.
Sin embargo, si la varianza del coeficiente i-ésimo es igual a
