Sea el polinomio
z +
z
z
z
{\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}\,}
perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces
z
z
z
z
(pertenecientes a C [1]), entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades :
z
k − j + 1
k − j + 2
k − j
{\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k}=(-1)^{j}*{a_{k-j} \over a_{k}}}
Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.
Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces.
Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).
Factorizamos el polinomio:
{\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}=a_{k}(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})\cdots (z-z_{k})\,}
Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término
0 ≤ j < k
{\displaystyle 0\leq j k − j k − j + 1 k − j + 2 {\displaystyle a_{j}=(-1)^{k-j}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k})} De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.