El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.
una función analítica en un dominio simplemente conexo
, excepto en un número finito de puntos
que constituyen singularidades aisladas de
, simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de
{\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} (f,z_{k})}
es el Residuo de la función
holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial
{\displaystyle f(z)\,dz}
Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral
{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz}
{\displaystyle \int _{C'}f(z)\,dz}
sea una curva homotópica con
En específico, se puede considerar una curva tipo
la cual tiene una rotación alrededor de los puntos
sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.
Ya que la curva
sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de
alrededor de los círculos pequeños.
parametrización de la curva alrededor del punto
d z = ρ i
, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas
Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda
d θ = 2 π i
fija y aplíquese la serie de Laurent para
de tal forma que
{\displaystyle {\rm {{Res}(f,a_{j})=c_{-1}}}}
en la serie de Laurent.
{\displaystyle \rho ^{k+1}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =c_{-1}\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi c_{-1}=2\pi \,\mathrm {Res} (f,a_{j})}
se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que: