Kernel (álgebra)
El teorema fundamental sobre homomorfismos (o primer teorema de isomorfismo) toma varias formas, que involucran el objeto cociente (también llamado álgebra cociente en álgebra universal y el cokernel en teoría de categorías) definido por el núcleo.
El núcleo generalmente se denota como ker T, o con alguna variación del mismo: Dado que una aplicación lineal conserva los vectores nulos, el vector cero 0V de V debe pertenecer al núcleo.
El kernel (ker T) es siempre un subespacio lineal de V.
Por ejemplo, para encontrar todas las funciones dos veces diferenciables f de la recta real a sí misma de modo que se debe considerar que V sea el espacio de todas las funciones dos veces diferenciables, W debe ser el espacio de todas las funciones, y se tiene que definir un operador lineal T de V sobre W mediante para f en V, y siendo x un número real arbitrario.
Entonces todas las soluciones a la ecuación diferencial están en (ker T).
Se pueden definir núcleos para homomorfismos entre módulos sobre un anillo de manera análoga.
Esto incluye núcleos para homomorfismos entre grupos abelianos como un caso especial.
Por lo tanto, tiene sentido hablar del grupo cociente G/(ker f).
Es la preimagen del ideal cero {0S}, es decir, el subconjunto de R que consiste en todos aquellos elementos de R que se asignan por f al elemento 0S.
El núcleo generalmente se denota ker f. En notación simbólica: Dado que un homomorfismo en anillo conserva los elementos cero, el elemento cero 0R de R debe pertenecer al núcleo.
Este es siempre el caso si R es un campo y S no es el anillo cero.
Por lo tanto, tiene sentido hablar del anillo cociente R/(ker f).
Téngase en cuenta que los anillos no necesitan ser unitarios para la definición del núcleo.
Hasta cierto punto, esto puede considerarse como un caso especial de la situación para los módulos, ya que estos son todos bimódulos sobre un anillo R: Sin embargo, el teorema del isomorfismo da un resultado más fuerte, porque los isomorfismos de anillo preservan la multiplicación mientras que los isomorfismos de módulo (incluso entre anillos) en general no lo hacen.
Por lo tanto, tiene sentido hablar del cociente monoide M/(ker f).
Esto es muy diferente de forma conceptual a los ejemplos anteriores.
Por lo tanto, tiene sentido hablar del álgebra cociente A/(ker f).
El primer teorema del isomorfismo en álgebra universal general afirma que este álgebra cociente es naturalmente isomorfa a la imagen de f (que es un subalgebra de B).
Para más información sobre este concepto general, fuera del álgebra abstracta, véase el artículo dedicado al núcleo de una función.
Resulta que ker f no es un subálgebra de A, pero es un ideal.
Primero, el kernel-como-un-ideal es la clase de equivalencia del elemento neutro eA bajo el kernel-como-una-congruencia.
Usando esto, los elementos a y b de A son equivalentes bajo el kernel-como-una-congruencia si y sólo si su cociente a/b es un elemento del kernel-como-un-ideal.
En este caso, se esperaría que el homomorfismo f conserve esta estructura adicional.
En los ejemplos topológicos, sería deseable que f fuera un mapa continuo.
El proceso puede encontrarse con un problema con las álgebras cociente, que pueden no comportarse bien.
En los ejemplos topológicos, se pueden evitar problemas exigiendo que las estructuras algebraicas topológicas sean de Hausdorff (como se hace generalmente); entonces el núcleo (como sea que esté construido) será un conjunto cerrado y el espacio cociente funcionará bien (y también será de Hausdorff).
