Momento de inercia

La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Cuando un cuerpo es libre de girar alrededor de un eje, se debe aplicar un par para cambiar su momento cinético.

La cantidad de par necesario para causar una determinada aceleración angular (la tasa de cambio en la velocidad angular) es proporcional al momento de inercia del cuerpo.

El momento de inercia juega el papel en la cinética rotacional que la masa (inercia) juega en la cinética lineal; ambos caracterizan la resistencia de un cuerpo a los cambios en su movimiento.

Para una masa puntual, el momento de inercia con respecto a algún eje está dado por

es la distancia del punto al eje, y

Para un cuerpo extenso de forma regular y densidad uniforme, esta suma a veces produce una expresión simple que depende de las dimensiones, la forma y la masa total del objeto.

[2]​ El término momento de inercia ("momentum inertiae" en latín) fue introducido por Leonhard Euler en su libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum en 1765,[2]​[3]​ y se incorpora a la segunda ley de Euler.

[4]​[5]​ El momento de inercia también aparece en el momento, energía cinética, y en leyes de movimiento de Newton para un cuerpo rígido como un parámetro físico que combina su forma y masa.

Hay una diferencia interesante en la forma en que aparece el momento de inercia en el movimiento plano y espacial.

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación.

Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton:

tiene como equivalente para la rotación: donde: Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es

, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular

asentada con masa M perpendicular al eje de rotación L con masa M perpendicular al eje de rotación L con masa M radio externo R2 y masa M masa M del eje de rotación Cuando se estudian problemas con sólidos 3D que giran en el espacio, es necesario usar un concepto un poco más general de inercia rotacional, llamado tensor de inercia.

El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

, y son las componentes diagonales del tensor.

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y

es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.