Teorema del eje paralelo

El teorema del eje paralelo, también conocido como teorema de Huygens–Steiner, o simplemente como teorema de Steiner,[1]​ (nombrado así en referencia a Christiaan Huygens y Jakob Steiner), puede utilizarse para determinar el momento de inercia o segundo momento de área de un cuerpo rígido respecto a cualquier eje, a partir del momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase a través del centro de masas del objeto, de la masa del objeto y de la distancia medida perpendicularmente entre ambos ejes.

Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido y dado un segundo eje paralelo al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionado mediante la expresión: El resultado anterior puede extenderse al cálculo completo del tensor de inercia.

La regla de los ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de área (momento de inercia planar) para una región plana D: Nota: El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CG) de una lámina fija con la misma forma que tiene densidad uniforme.

Se puede ver que, para elementos diagonales (cuando i = j), desplazamientos perpendiculares al eje de rotación resultan en la versión simplificada mostrada arriba del teorema de Steiner.

Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen.

El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene: El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas.

Así, esta expresión queda como: Para los momentos de tercer orden

Si para el cálculo anterior se usan ejes paralelos a los ejes principales de inercia, se tiene: