Así, la multiplicación de números duales está dada por (y la adición se realiza por componentes).
Los números duales también pueden considerarse como el álgebra exterior de un espacio vectorial unidimensional.
El álgebra de los números duales es un anillo que es de carácter local, ya que el ideal principal generado por ε es su único ideal maximal.
Los números duales fueron introducidos en 1873 por William Clifford, y fueron utilizados a principios del siglo XX por el matemático alemán Eduard Study, quien los usó para representar el ángulo doble que mide la posición relativa de dos rectas oblicuas en el espacio.
Usando matrices, los números duales se pueden representar como La suma y el producto de los números duales se calculan con adición matricial y multiplicación de matrices ordinarias; ambas operaciones son conmutativas y asociativas dentro del álgebra de números duales.
Esta correspondencia es análoga a la matrix representación matricial de números complejos habitual.
El concepto de una rotación en el plano numérico dual es equivalente a una aplicación de corte vertical, ya que (1 + pε) (1 + qε) = 1 + (p + q)ε.
Con números duales t + xε que representan sucesos en una dimensión espacial y tiempo, la misma transformación se efectúa con la multiplicación por (1 + vε).
[1] En términos del álgebra abstracta, los números duales se pueden describir como el cociente del anillo de polinomios R [X] por el ideal generado por el polinomio X2, La imagen de X en el cociente es ε.
Con esta descripción, queda claro que los números duales forman un anillo conmutativo con característica 0.
Esta construcción se puede llevar a cabo de manera más general: para un anillo conmutativo R se pueden definir los números duales sobre R como el cociente del anillo de polinomios R[X] por el ideal (X2): la imagen de X tiene un cuadrado igual a cero, y corresponde al elemento ε.
A saber, el haz tangente de un esquema sobre una base afín
Por ejemplo, considérese el esquema afín Recordando que las aplicaciones
Como consecuencia, se observa que los números duales sobre cualquier campo (o cualquier anillo local conmutativo) forman un anillo local, siendo su ideal máximo el ideal principal generado por ε.
Una generalización más estrecha es la de introducir n generadores anti-conmutación, originando los denominados números de Grassmann o nsupernúmeros, que se analizan a continuación.
El superespacio generaliza adicionalmente los supernúmeros, al permitir múltiples dimensiones de desplazamiento.
Dado cualquier polinomio real P(x) = p0 + p1x + p2x2 + ... + pnxn, es sencillo extender el dominio de este polinomio de los números reales a los duales.
En términos más generales, se puede extender cualquier función real (analítica) a los números duales analizando su serie de Taylor: dado que todos los términos que involucran
La división de números duales se define cuando la parte real del denominador no es cero.
El proceso de división es análogo a la división de números complejos, en la que el denominador se multiplica por su conjugado para cancelar las partes no reales.
Por lo tanto, para dividir una ecuación de la forma: se multiplica la parte superior e inferior por el conjugado del denominador: que se define para cuando c es no nulo.
La idea de una recta proyectiva sobre los números duales fue desarrollada por Grünwald[3] y Corrado Segre.
Se define una relación en B de la siguiente manera: (a, b) ~ (c, d) cuando hay una u en U tal que ua = c y ub = d. Esta relación es, de hecho, una relación de equivalencia.
P(D) se hace corresponder con un cilindro mediante la siguiente proyección: tómese una tangente del cilindro al plano de los números duales en la recta {y ε: y ∈ ℝ},ε2 = 0.
Los números duales encuentran aplicaciones en mecánica, especialmente para la síntesis cinemática.