Grupo cuaterniónico
Está dado por la presentación de grupo donde e es el elemento identidad y e conmuta con los demás elementos del grupo.
Estas relaciones, descubiertas por William Rowan Hamilton, también generan los cuaterniones como un álgebra sobre los números reales.
[1] El grupo cuaterniónico 8X tiene el mismo orden que el grupo diédrico D4, pero una estructura diferente, como lo muestran sus grafos cíclico y de Cayley: En los diagramas de D4, los elementos del grupo están marcados con su acción sobre una letra F en su representación definitoria respecto a 'R2.
Otra presentación de 8X[3] basada en solo dos elementos para saltarse esta redundancia es: Por ejemplo, al escribir los elementos del grupo en formas normales mínimas lexicográficamente, se puede identificar: El grupo cuaterniónico tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano: 8X no es abeliano, pero cada subgrupo es normal.
que es isomorfo al grupo de Klein V.
Representaciones de signos con i, j, k-núcleo: 8X tiene tres subgrupos normales máximos: los subgrupos cíclicos generados por i, j y k respectivamente.
Para cada subgrupo normal máximo N, se obtiene una representación unidimensional factorizando a través del grupo cociente G/N de 2 elementos.
No es realizable sobre los números reales, dado que se trata de una representación compleja: de hecho, son solo los cuaterniones
corresponden a los irreducibles: de modo que Cada uno de estos ideales irreducibles es isomorfo a un álgebra simple central real, los primeros cuatro al cuerpo real
tiene un núcleo ideal generado por el idempotente: por lo que los cuaterniones también se pueden obtener como el anillo cociente
Téngase en cuenta que esto es irreducible como una representación real de
La representación del complejo irreducible bidimensional descrito anteriormente da el grupo cuaterniónico 8X como un subgrupo del grupo lineal general
por multiplicación por la izquierda sobre sí mismo considerado como un espacio vectorial complejo con base
La representación resultante que viene dada por: Dado que todas las matrices anteriores tienen determinante unitario, esta es una representación de 8X en el grupo lineal especial
[6] Una variante da una representación por matrices unitarias (tabla de la derecha).
sea coherente con las matrices de Pauli habituales: Esta elección particular es conveniente y elegante cuando se describen estados de espín -1/2 en la base
y se considera operadores en escalera del momento angular
También hay una importante acción de 8X en el espacio vectorial bidimensional sobre elcuerpo finito
viene dada por Esta representación se puede obtener de la extensión del cuerpo: donde
admite una aplicación lineal: Además se tiene el automorfismo de Frobenius
De hecho, generan el grupo de automorfismo completo como: que es isomorfo al grupo simétrico S4, ya que las asignaciones lineales
, es decir, los cuatro puntos del espacio proyectivo
al intentar relacionar el grupo cuaterniónico con la teoría de Galois.
[1] Un grupo cuaterniónico generalizado 4nX de orden 4n está definido por la presentación[3] para un número entero n ≥ 2, con el grupo cuaterniónico habitual dado por n = 2.
El grupo cuaterniónico generalizado se puede realizar como el subgrupo de
Los grupos cuaterniónicos generalizados tienen la propiedad de que cada subgrupo abeliano es cíclico.
[11] Se puede demostrar que un p-grupo finito con esta propiedad (cada subgrupo abeliano es cíclico) es cíclico o un grupo cuaterniónico generalizado como se definió anteriormente.
[12] Otra caracterización es que un p-grupo finito en el que hay un subgrupo único de orden p es cíclico o un grupo cuaterniónico isomorfo a uno generalizado de 2 grupos.
Suponiendo que pr sea el tamaño de F, donde p es primo, el tamaño del subgrupo 2-Sylow de SL2(F) es 2n, donde n= ord2(p2 − 1) + ord2(r).
El teorema de Brauer-Suzuki muestra que los grupos cuyos subgrupos 2-Sylow son cuaterniones generalizados no pueden ser simples.
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