Cuaternión de Hurwitz

En matemáticas, un cuaternión de Hurwitz (o entero de Hurwitz) es un cuaternión cuyos componentes son o todos enteros o todos semienteros (mitades de un entero impar; mezclas de enteros y semienteros quedan excluidas).es cerrado bajo multiplicación y adición de cuaterniones, lo cual forma un subanillo del anillo de todos los cuaternionesLos cuaterniones de Hurwitz deben su nombre al matemático alemán Adolf Hurwitz, quien los introdujo en 1919.[1]​ Un cuaternión de Lipschitz (o entero de Lipschitz) es un cuaternión cuyos componentes son todos enteros.Al igual que un grupo aditivo,forman una subred de índice 2 enes el grupo cuaternión de orden 8cuyos signos pueden ser tomados en cualquier combinación., los cuales todos tienen norma 1, forman los vértices del icositetracoron inscripto en la 3-esfera.Es de hecho de orden máximo; dato que le da más importancia al término.Los cuaterniones de Lipschitz, los cuales son los candidatos más obvios para la idea del cuaternión integral, también forman un orden.Sin embargo, este último orden no es máximo y, por lo tanto, es menos apropiado para desarrollar una teoría de ideales por la izquierda comparable con la teoría de números algebraicos.Lo que notó Adolf Hurwitz, por lo tanto, fue que esta definición del cuaternión integral de Hurwitz es el más apropiado para operar., los órdenes máximos necesitan que no sean únicos, así que uno necesita reparar el orden máximo, en la idea de llevar el concepto de un número entero algebraico.Gracias al teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, cada entero que no sea negativo puede ser escrito como la suma de como máximo cuatro cuadrados.Así, cada entero no negativo es la norma de algún cuaternión de Lipschitz (o Hurwitz).La función generada de los númerosUn entero de Hurwitz es llamado irreducible si no es 0 o una unidad no es producto de no-unidades.Un entero de Hurwitz también es irreducible sí y sólo sí su norma es un número primo.Los cuaterniones irreducibles son a veces llamados cuaterniones primos, pero esto puede malentenderse ya que éstos no son elementos primos en el sentido común del álgebra conmutativa: es posible para un cuaternión irreducible el dividir un productoEsta factorización no es en general única, incluso hasta unidades y orden, ya que un número primo impar positivograndes estos no pueden ser todos equivalentes bajo multiplicación de unidades izquierda y derecha ya que sólo hay 24 unidades.Sin embargo si uno excluye este caso entonces existe una versión de factorización única.Más precisamente, cada cuaternión de Hurwitz puede escribirse únicamente como el producto de un entero positivo y un cuaternión primitivo (o un cuaternión de Hurwitz no divisible por cualquier entero mayor a 1).La factorización de un cuaternión primitivo en irreducibles es única para órdenes y unidades en el siguiente sentido: si y son dos factorizaciones de algún cuaternión primitivo de Hurwitz en cuaterniones irreducibles dondeLos enteros reales ordinarios y los enteros gaussianos permiten una división con resto o división euclídea.de manera que Para enteros gaussianos o complejos= ( e , f , g , h )Esto motivó un cambio en los enteros de Hurwitz, para los cuales la condición[2]​ Varios algoritmos dependen en la división con resto, por ejemplo, el algoritmo de Euclides, para hallar el máximo común divisor.