Por ejemplo, Más formalmente, para cada entero positivo n, existen números enteros no negativos a, b, c, d como que: Adrien-Marie Legendre mejoró el teorema en 1798 demostrando que un entero positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la forma 4 k (8 m + 7).
Su prueba estaba incompleta, dejando un hueco que después llenó Carl Friedrich Gauss.
En 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi encontró la fórmula exacta para el número total de maneras en que un número entero positivo n dado puede representarse como la suma de cuatro cuadrados.
Los restos de a2 módulo p son distintos para todo a entre 0 y
En el espacio K cualquier polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces distintas (Teorema de Lagrange (teoría de números)), por lo que no hay ningún otro a con esta propiedad, en particular no entre 0 y
Del mismo modo, para b que toma valores integrales entre 0 y
Demostramos por contradicción que m es igual a 1: suponiendo que no sea el caso, probamos la existencia de un número entero positivo r menor que m, para el cual rp es además la suma de cuatro cuadrados (esto está basado en el método del Descenso infinito de Fermat).
Para este fin, consideramos para cada xi su yi que está en la misma clase de residuo módulo m y entre (–m + 1)/2 y m/2 (incluido).
De ello se deduce que y12 + y22 + y32 + y42 = mr, para cualquier estrictamente entero positivo r menor que m. Por último, otra referencia a la Identidad de los cuatro cuadrados de Euler demuestra que mpmr = z12 + z22 + z32 + z42.
Pero el hecho de que cada xi es congruente a su correspondencia yi implica que todos los zi son divisibles por m. De hecho,
De ello se deduce que, para wi = zi/m, w12 + w22 + w32 + w42 = rp, y esto entra en contradicción con la minimalidad de m. En el descenso anterior, debemos excluir en ambos casos y1 = y2 = y3 = y4 = m/2 (lo que nos daría r = m y ningún descenso), y además el caso y1 = y2 = y3 = y4 = 0 (el cual nos daría r = 0 en lugar de ser estrictamente positivo).
Estos dos conjuntos pueden ser combinados en una sencilla fórmula
son todos los números enteros o semienteros, dependiendo de si
La prueba del teorema principal comienza por la reducción al caso de los números primos.
y asumimos por ahora (como mostraremos más adelante) que no es un Hurwitz irreductible; es decir, puede ser factorizado en dos cuaterniones Hurwitz no unitarios.
elegido tiene coeficientes semienteros, puede ser reemplazado por otro cuaternión de Hurwitz.
tendrá coeficientes enteros y puede ser usado en lugar del
no es un Hurwitz irreductible, Lagrange demostró que cualquier número primo impar
Esto se puede ver de la siguiente manera: puesto que
Sin embargo, la propiedad anterior implica que todo ideal de derecho es principal.
Otra posible generalización es el siguiente problema: Dados los números naturales
de manera que el problema se pueda resolver en números enteros
, pero en este caso el problema no se puede resolver si
Michael O. Rabin y Jeffrey Shallit descubrieron algoritmos de tiempo polinomial aleatorios para calcular una sola representación
Equivalentemente, es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir:
donde el segundo término debe tomarse como cero si n no es divisible por 4.
Por ejemplo, Sun Zhiwei demostró que cada número natural puede ser expresado como la suma de una sexta potencia (o una cuarta potencia) y tres cuadrados, y la conjetura 1-3-5 de Sun (con un premio de 1350$ por hallar la solución) afirma que cualquier número natural puede escribirse como siendo
números enteros no negativos, de modo que
Uno también puede preguntarse si es necesario usar todo el conjunto de números enteros cuadrados para escribir cada natural como la suma de cuatro cuadrados.
Wirsing demostró que existe un conjunto de cuadrados