Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados
En el transcurso de los siglos posteriores se propusieron nuevas demostraciones y varias generalizaciones.
Si se empiezan a escribir los enteros inferiores a 50 (independientemente de que sean primos o no) sobre cuatro líneas, en función del resto de su división entre cuatro (0, 1, 2 o 3), se obtiene:
[2] Pero es en la tradición diofántica donde se encuentran rastros más precisos sobre los números suma de cuadrados.
No ha subsistido sin embargo ninguna demostración completa redactada por Fermat de su teorema.
En cambio, las herramientas que desarrolló permiten efectivamente fabricar una y varios historiadores se han dedicado a este ejercicio de reconstrucción.
Fue pues Leonhard Euler, tras mucho esfuerzo, el primero que dio una demostración formal basada en descenso infinito.
[17] Más tarde, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) publicó una demostración en 1775 basada en su estudio de formas cuadráticas.
[18] Más adelante, Dedekind dio otras dos demostraciones basadas en la aritmética de los enteros gaussianos.
Fermat enunció el teorema, pero, como habitualmente, no compartió una demostración del mismo.
La primera fue encontrada por Euler después de mucho esfuerzo basándose en las pistas que dejó Fermat.
Sin embargo, estas cartas sólo contenía esbozos de la prueba, que no publicó detalladamente hasta más adelante, en dos artículos entre 1752 y 1755.
Esta misma prueba fue más adelante simplificada por Gauss en sus Disquisitiones arithmeticae (art.
[18] Más tarde, también Dedeking dio por lo menos dos demostraciones basadas en los enteros de Gauss.
[19] Y más recientemente, en 2016, David Christopher dio una demostración basada en teoría de particiones.
La demostración se basa en el método del descenso infinito propuesto por el mismo Fermat anteriormente.
La demostración completa consta de cinco afirmaciones que finalmente conducen al enunciado y fue publicada en dos artículos.
A continuación se presentan las cinco afirmaciones de que consta la prueba:
En efecto, basta un simple desarrollo del miembro derecho para comprobar su validez:
, y esto lleva a lo que queríamos: el cociente es suma de dos cuadrados.
es un número no expresable como suma de dos cuadrado que divide a
pudieran ser escritos como suma de dos cuadrados, podríamos dividir sucesivamente
etc. y, aplicando el paso 2., en cada división obtendríamos a la izquierda un número expresable como suma de dos cuadrados.
(Este es el paso que utiliza 3. para producir un descenso infinito, y fue la proposición 4 de Euler.
lo cumple y, por inducción, por el razonamiento anterior, tenemos que el monomio principal del
son ambos enteros, uno debe ser nulo y el otro es igual a 1 en valor absoluto.
Su demostración se basa en el siguiente resultado, que demuestra mediante el uso de formas cuadráticas:
(más abajo, en una interpretación geométrica, se justifica la elección esta fórmula), que tiene exactamente un punto fijo
con sus imágenes respecto a esta última involución y quedaría solamente el único punto fijo emparejado consigo mismo) que el cardinal de
Este punto fijo, como ya se ha dicho, corresponde a una representación de
Así, en una carta escrita a su amigo Blaise Pascal el 25 de septiembre de 1654, anunciaba los siguientes resultados para números primos mayores que 2:[20] Lo que en términos modernos viene a ser:
